Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1680

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Путём надлежащего преобразования подынтегрального выражения найти следующие интегралы:

\displaystyle\int\frac{dx}{(1+x)\sqrt x}

Ответ:
При

x>0

2\arctg\sqrt{x}+C

Решение

Из-за множителя

\sqrt{x}

в знаменателе должно выполняться
условие

x>0

. Используем указанное преобразование

\dfrac{dx}{\sqrt{x}}=2\,d(\sqrt{x})

Тогда

\int\dfrac{dx}{(1+x)\sqrt{x}} =2\int\dfrac{d(\sqrt{x})}{1+(\sqrt{x})^2} =2\arctg\sqrt{x}+C