Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1712

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Путём надлежащего преобразования подынтегрального выражения найти следующие интегралы:

Задача 1712

∫x2+1x4+1 dx\displaystyle\int\frac{x^2+1}{x^4+1}\,dx.
Ответ:12(arctg⁡(2 x+1)+arctg⁡(2 x−1))+C,x∈R\dfrac{1}{\sqrt{2}}\left(
\operatorname{arctg}\left(\sqrt{2}\,x+1\right)
+\operatorname{arctg}\left(\sqrt{2}\,x-1\right)
\right)+C,
\qquad x\in\mathbb R

Решение

Поскольку x4+1>0x^4+1>0 при всех x∈Rx\in\mathbb R, подынтегральная
функция определена на всей числовой прямой. При x≠0x\ne0 разделим
числитель и знаменатель дроби на x2x^2:x2+1x4+1 dx=1+1x2x2+1x2 dx\dfrac{x^2+1}{x^4+1}\,dx
=\dfrac{1+\dfrac1{x^2}}{x^2+\dfrac1{x^2}}\,dxИспользуем указанное преобразование(1+1x2)dx=d(x−1x)\left(1+\dfrac1{x^2}\right)dx
=d\left(x-\dfrac1x\right)Кроме того,x2+1x2=(x−1x)2+2x^2+\dfrac1{x^2}
=\left(x-\dfrac1x\right)^2+2Поэтому на каждом из промежутков (−∞;0)(-\infty;0) и (0;+∞)(0;+\infty)
получаем∫x2+1x4+1 dx=∫d(x−1x)(x−1x)2+2=12arctg⁡(x−1x2)+C\int\dfrac{x^2+1}{x^4+1}\,dx
=\int\dfrac{d\left(x-\dfrac1x\right)}
{\left(x-\dfrac1x\right)^2+2}
=\dfrac1{\sqrt2}\arctg
\left(\dfrac{x-\dfrac1x}{\sqrt2}\right)+CПреобразование временно исключило точку x=0x=0, хотя исходная функция в ней определена. Согласовав постоянные на двух промежутках с помощью формулы сложения для арктангенса, запишем первообразную в виде, определённом на всей числовой прямой:F(x)=12(arctg⁡(2 x+1)+arctg⁡(2 x−1))F(x)=\dfrac1{\sqrt2}\left(
\arctg\left(\sqrt2\,x+1\right)
+\arctg\left(\sqrt2\,x-1\right)
\right)Проверим полученную формулу:F′(x)=11+(2 x+1)2+11+(2 x−1)2=x2+1x4+1\begin{aligned}
F'(x)
&=\dfrac1{1+\left(\sqrt2\,x+1\right)^2}
+\dfrac1{1+\left(\sqrt2\,x-1\right)^2}=\dfrac{x^2+1}{x^4+1}
\end{aligned}Следовательно, найденная первообразная верна при всех
x∈Rx\in\mathbb R.
Демидович № 1712 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика