Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1691

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Путём надлежащего преобразования подынтегрального выражения найти следующие интегралы:

\displaystyle\int\frac{dx}{e^x+e^{-x}}

Ответ:

\operatorname{arctg}(e^x)+C

Решение

Умножим числитель и знаменатель дроби на

e^x

\dfrac{1}{e^x+e^{-x}} =\dfrac{e^x}{1+e^{2x}}

Положим

u=e^x, \qquad du=e^x\,dx

Тогда

\begin{aligned} \int\dfrac{dx}{e^x+e^{-x}} &=\int\dfrac{e^x\,dx}{1+e^{2x}} =\int\dfrac{du}{1+u^2}=\\ &=\operatorname{arctg}u+C =\operatorname{arctg}(e^x)+C\end{aligned}