Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1687

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Путём надлежащего преобразования подынтегрального выражения найти следующие интегралы:

\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{x(1+x)}}

Ответ:

\ln\left|2x+1+2\sqrt{x(1+x)}\right|+C, \qquad x<-1 \quad\text{или}\quad x>0

Постоянная

C

выбирается независимо на промежутках

(-\infty,-1)

(0,+\infty)

Решение

Подынтегральная функция определена при

x<-1

или

x>0

. Выделим полный квадрат под корнем, чтобы получить выражение вида

u^2-1

x(1+x)=\dfrac{(2x+1)^2-1}{4}

Следовательно,

\sqrt{x(1+x)} =\dfrac{1}{2}\sqrt{(2x+1)^2-1}

Положим

u=2x+1

, тогда

du=2\,dx

. Для результата используем формулу

\int\dfrac{du}{\sqrt{u^2-1}} =\ln\left|u+\sqrt{u^2-1}\right|+C

Для проверки на обоих промежутках

|u|>1

продифференцируем правую часть:

\left(\ln\left|u+\sqrt{u^2-1}\right|\right)' =\dfrac{1+\dfrac{u}{\sqrt{u^2-1}}} {u+\sqrt{u^2-1}} =\dfrac{1}{\sqrt{u^2-1}}

Получаем

\begin{aligned} \int\dfrac{dx}{\sqrt{x(1+x)}} &=\int\dfrac{d(2x+1)} {\sqrt{(2x+1)^2-1}}=\\ &=\ln\left|2x+1+2\sqrt{x(1+x)}\right|+C\end{aligned}