Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1717

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Путём надлежащего преобразования подынтегрального выражения найти следующие интегралы:

\displaystyle\int\frac{\cos x\,dx}{\sqrt{2+\cos2x}}

Ответ:

\dfrac{1}{\sqrt{2}} \arcsin\left(\sqrt{\dfrac{2}{3}}\sin x\right)+C, \qquad x\in\mathbb R

Решение

Поскольку

2+\cos2x\geqslant1

, подынтегральная функция определена при всех

x\in\mathbb R

. Используя формулу

\cos2x=1-2\sin^2x

, преобразуем выражение под корнем:

2+\cos2x=3-2\sin^2x

Положим

t=\sin x, \qquad dt=\cos x\,dx

Преобразуем выражение в знаменателе:

3-2t^2=3\left(1-\dfrac23t^2\right)

Стандартную первообразную узнаём по производной

\arcsin z

: она равна

\frac{1}{\sqrt{1-z^2}}

. При

z=\sqrt{\frac{2}{3}}\,t

цепное правило даёт требуемый коэффициент

\frac{1}{\sqrt2}

. Тогда

\begin{aligned} \int\dfrac{\cos x\,dx}{\sqrt{2+\cos2x}} &=\int\dfrac{dt}{\sqrt{3-2t^2}}=\\ &=\dfrac{1}{\sqrt{2}} \arcsin\left(\sqrt{\dfrac{2}{3}}\,t\right)+C=\\ &=\dfrac{1}{\sqrt{2}} \arcsin\left(\sqrt{\dfrac{2}{3}}\sin x\right)+C\end{aligned}