Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1726

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя метод разложения, вычислить следующие интегралы:

\displaystyle\int\frac{(2-x)^2}{2-x^2}\,dx

Ответ:

-x+2\ln|2-x^2| +\dfrac{3}{\sqrt{2}} \ln\left| \dfrac{\sqrt{2}+x}{\sqrt{2}-x} \right|+C, \qquad x\ne\pm\sqrt{2}

Постоянная

C

выбирается независимо на каждом из промежутков

(-\infty,-\sqrt{2}), \qquad (-\sqrt{2},\sqrt{2}), \qquad (\sqrt{2},+\infty)

Решение

Подынтегральная функция определена при

x\ne\pm\sqrt{2}

. Выделим целую часть дроби:

\begin{aligned} \dfrac{(2-x)^2}{2-x^2} &=\dfrac{x^2-4x+4}{2-x^2} =-1+\dfrac{-4x+6}{2-x^2}\end{aligned}

Кроме того,

\begin{aligned} \dfrac{1}{2\sqrt{2}} \left( \dfrac{1}{\sqrt{2}+x} +\dfrac{1}{\sqrt{2}-x} \right) &=\dfrac{1}{2\sqrt{2}} \dfrac{2\sqrt{2}}{2-x^2} =\dfrac{1}{2-x^2}\end{aligned}

Для интеграла с числителем

-4x

положим

u=2-x^2, \qquad du=-2x\,dx, \qquad -4x\,dx=2\,du

Для линейных знаменателей используем замены

\begin{aligned} v&=\sqrt{2}+x, &dv&=dx \\ w&=\sqrt{2}-x, &dw&=-dx\end{aligned}

Покажем, как преобразуется слагаемое с числителем

6

\dfrac{6\,dx}{2-x^2} =\dfrac{3}{\sqrt2} \left(\dfrac{dx}{\sqrt2+x}+\dfrac{dx}{\sqrt2-x}\right) =\dfrac{3}{\sqrt2}\left(\dfrac{dv}{v}-\dfrac{dw}{w}\right)

Знак минус возникает из

dw=-dx

. Вместе со слагаемым с числителем

-4x

, для которого

-4x\,dx=2\,du

, получаем

\begin{aligned} \int\dfrac{(2-x)^2}{2-x^2}\,dx &=-x+2\int\dfrac{du}{u} +\dfrac{3}{\sqrt{2}} \left( \int\dfrac{dv}{v}-\int\dfrac{dw}{w} \right)=\\ &=-x+2\ln|u| +\dfrac{3}{\sqrt{2}} \left( \ln|v|-\ln|w| \right)+C=\\ &=-x+2\ln|2-x^2| +\dfrac{3}{\sqrt{2}} \ln\left| \dfrac{\sqrt{2}+x}{\sqrt{2}-x} \right|+C\end{aligned}