Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1706

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Путём надлежащего преобразования подынтегрального выражения найти следующие интегралы:

\displaystyle\int\frac{dx}{\ch x}

Ответ:

\operatorname{arctg}(\operatorname{sh}x)+C

Решение

Положим

t=\operatorname{sh}x

. Тогда

dt=\operatorname{ch}x\,dx

, а тождество

1+\operatorname{sh}^2x=\operatorname{ch}^2x

даёт

\operatorname{ch}^2x=1+t^2

.
Поэтому

\begin{aligned} \int\dfrac{dx}{\operatorname{ch}x} &=\int\dfrac{dt}{\operatorname{ch}^2x} =\int\dfrac{dt}{1+t^2}=\\ &=\operatorname{arctg}t+C =\operatorname{arctg}(\operatorname{sh}x)+C\end{aligned}