Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1683

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Путём надлежащего преобразования подынтегрального выражения найти следующие интегралы:

\displaystyle\int\frac{dx}{x\sqrt{x^2-1}}

Ответ:

\operatorname{arctg}\sqrt{x^2-1}+C, \qquad |x|>1

Постоянная

C

выбирается независимо на промежутках

(-\infty,-1)

(1,+\infty)

Решение

Подынтегральная функция определена при

|x|>1

. Имеем

d\left(\sqrt{x^2-1}\right) =\dfrac{x\,dx}{\sqrt{x^2-1}}

Домножая подынтегральную дробь на

x

, получаем

\begin{aligned} \int\dfrac{dx}{x\sqrt{x^2-1}} &=\int\dfrac{x\,dx}{x^2\sqrt{x^2-1}}=\\ &=\int\dfrac{d\left(\sqrt{x^2-1}\right)} {1+\left(\sqrt{x^2-1}\right)^2}=\\ &=\operatorname{arctg}\sqrt{x^2-1}+C\end{aligned}