Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1701

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Путём надлежащего преобразования подынтегрального выражения найти следующие интегралы:

Задача 1701

∫dxsin⁡2xctg⁡x4\displaystyle\int\frac{dx}{\sin^2x\sqrt[4]{\ctg x}}.
Ответ:−43(ctg⁡x)34+C,kπ<x<kπ+π2,k∈Z-\dfrac{4}{3}(\ctg x)^{\frac{3}{4}}+C,
\qquad
k\pi<x<k\pi+\dfrac{\pi}{2},
\quad k\in\mathbb Z

Решение

Корень четвёртой степени стоит в знаменателе, поэтому требуется ctg⁡x>0\ctg x>0: при ctg⁡x=0\ctg x=0 знаменатель обращается в нуль, а при sin⁡x=0\sin x=0 сама функция ctg⁡x\ctg x не определена. Условие ctg⁡x>0\ctg x>0 исключает оба вида недопустимых точек и задаёт промежуткиkπ<x<kπ+π2,k∈Zk\pi<x<k\pi+\dfrac{\pi}{2},
\qquad k\in\mathbb ZВыбираем t=ctg⁡xt=\ctg x: множитель dxsin⁡2x\dfrac{dx}{\sin^2x} равен −dt-dt, а корень в знаменателе станет t14t^{\frac14}. Посколькуd(ctg⁡x)=−dxsin⁡2x,d(\ctg x)=-\dfrac{dx}{\sin^2x},подводим ctg⁡x\ctg x под знак дифференциала:∫dxsin⁡2x ctg⁡x4=−∫t−14 dt==−43t34+C=−43(ctg⁡x)34+C\begin{aligned}
\int\dfrac{dx}{\sin^2x\,\sqrt[4]{\ctg x}}
&=-\int t^{-\frac14}\,dt=\\
&=-\dfrac{4}{3}t^{\frac34}+C
=-\dfrac{4}{3}(\ctg x)^{\frac34}+C
\end{aligned}На каждом из указанных промежутков постоянная интегрирования выбирается независимо.
Демидович № 1701 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика