Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1685

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Путём надлежащего преобразования подынтегрального выражения найти следующие интегралы:

\displaystyle\int\frac{x\,dx}{(x^2-1)^{3/2}}

Ответ:

-\dfrac{1}{\sqrt{x^2-1}}+C, \qquad |x|>1

Постоянная

C

выбирается независимо на промежутках

(-\infty,-1)

(1,+\infty)

Решение

Подынтегральная функция определена при

|x|>1

. Поскольку

d(x^2-1)=2x\,dx

выбираем

u=x^2-1>0

. Тогда

x\,dx=\frac12\,du

\int u^{-\frac{3}{2}}\,du=-2u^{-\frac12}+C

. Подставляя обратно, имеем

\begin{aligned} \int\dfrac{x\,dx}{(x^2-1)^{\frac{3}{2}}} &=\dfrac{1}{2}\int\dfrac{d(x^2-1)} {(x^2-1)^{\frac{3}{2}}}=\\ &=-\dfrac{1}{\sqrt{x^2-1}}+C\end{aligned}