Раздел III. Производная и дифференциал — § 13

Кудрявцев § 13. Производная. Формулы и правила вычисления производных. Дифференциал функции

Условия, ответы и подробные решения задач параграфа

152 задачи

152 из 152 с разбором

Задача 13.51

y=xsh⁡2xy = x \sh 2x, x0=1x_0 = 1. Вычислить производную y′y' в точке x0x_0.

Задача 13.52

Вычислить производную функции y=(3x−7)10y = (3x - 7)^{10}.

Задача 13.53

Вычислить производную функции y=199(1−x)−99−149(1−x)−98+197(1−x)−97y = \dfrac{1}{99} (1 - x)^{-99} - \dfrac{1}{49} (1 - x)^{-98} + \dfrac{1}{97} (1 - x)^{-97}

Задача 13.54

Вычислить производную функции y=(a+bx)αy = (a + bx)^\alpha.

Задача 13.55

Вычислить производную функции y=(0,4cos⁡(8x+5)−0,6sin⁡0,8x)2y = (0{,}4 \cos(8x + 5) - 0{,}6 \sin 0{,}8x)^2.

Задача 13.56

Вычислить производную функции y=cos⁡32x−14sin⁡(2x+3)y = \dfrac{\cos 3}{2} x - \dfrac{1}{4} \sin(2x + 3)

Задача 13.57

Вычислить производную функции y=(acos⁡x+bsin⁡x)αy = (a \cos x + b \sin x)^\alpha.

Задача 13.58

Вычислить производную функции y=Ae−k2xsin⁡(ωx+α)y = A e^{-k^2 x} \sin(\omega x + \alpha).

Задача 13.59

Вычислить производную функции y=(x+1x)12y = \left( \sqrt{x} + \dfrac{1}{\sqrt{x}} \right)^{12}.

Задача 13.60

Вычислить производную функции y=2x2+x2+1y = \sqrt{2x^2 + \sqrt{x^2 + 1}}.

Задача 13.61

Вычислить производную функции y=9+72x513y = \sqrt[13]{9 + 7\sqrt[5]{2x}}.

Задача 13.62

Вычислить производную функции y=1−x31+x33y = \sqrt[3]{\dfrac{1 - x^3}{1 + x^3}}.

Задача 13.63

Вычислить производную функции y=(ax+bcx+d)1/ny = \left(\dfrac{ax+b}{cx+d}\right)^{1/n}.

Задача 13.64

Вычислить производную функции y=11+x4(x2+1+x4)y = \dfrac{1}{\sqrt{1 + x^4}(x^2 + \sqrt{1 + x^4})}.

Задача 13.65

Вычислить производную функции y=x2+4x4+(x2−42x)2y = \dfrac{x^2 + 4}{x \sqrt{4 + \left(\dfrac{x^2 - 4}{2x}\right)^2}}.

Задача 13.66

Вычислить производную функции y=x3+xa2−x2a−a3a54+ax44−a4x4−x54y = \dfrac{\sqrt{x^3} + \sqrt{xa^2} - \sqrt{x^2a} - \sqrt{a^3}}{\sqrt[4]{a^5} + \sqrt[4]{ax^4} - \sqrt[4]{a^4x} - \sqrt[4]{x^5}}.

Задача 13.67

Вычислить производную функции y=cos⁡(1/x)y = \cos(1/x).

Задача 13.68

Вычислить производную функции y=ctg⁡x2−13tg⁡32xy = \operatorname{ctg} x^2 - \dfrac{1}{3} \operatorname{tg}^3 2x.

Задача 13.69

Вычислить производную функции y=1−cos⁡(8x−3π)tg⁡2x−ctg⁡2xy = \dfrac{1 - \cos(8x - 3\pi)}{\operatorname{tg} 2x - \operatorname{ctg} 2x}.

Задача 13.70

Вычислить производную функции y=e−x2/2y = e^{-x^2/2}.

Задача 13.71

Вычислить производную функции y=2sin⁡2xy = 2^{\sin 2x}.

Задача 13.72

Вычислить производную функции y=12arctg⁡x2−13arctg⁡x3y = \dfrac{1}{2} \operatorname{arctg} \dfrac{x}{2} - \dfrac{1}{3} \operatorname{arctg} \dfrac{x}{3}.

Задача 13.73

Вычислить производную функции y=sin⁡2x1+ctg⁡x+cos⁡2x1+tg⁡xy = \dfrac{\sin^2 x}{1 + \operatorname{ctg} x} + \dfrac{\cos^2 x}{1 + \operatorname{tg} x}.

Задача 13.74

Вычислить производную функции y=1+tg⁡(x2+x−2)y = \sqrt{1 + \operatorname{tg} (x^2 + x^{-2})}.

Задача 13.75

Вычислить производную функции y=1+x2arctg⁡x21+x4y = \dfrac{1 + x^2 \operatorname{arctg} x^2}{\sqrt{1 + x^4}}.

Задача 13.76

Вычислить производную функции y=ln⁡ln⁡(x/2)y = \ln \ln (x/2).

Задача 13.77

Вычислить производную функции y=log⁡23(2x+3)2y = \log_2^3 (2x + 3)^2.

Задача 13.78

Вычислить производную функции y=ln⁡∣sin⁡x∣y = \ln |\sin x|.

Задача 13.79

Вычислить производную функции y=sin⁡ln⁡∣x∣y = \sin \ln |x|.

Задача 13.80

Вычислить производную функции y=cos⁡1log⁡2xy = \cos \dfrac{1}{\log_2 x}.

Задача 13.81

Вычислить производную функции y=3arctg⁡(2x+π)y = 3^{\operatorname{arctg}(2x+\pi)}.

Задача 13.82

Вычислить производную функции y=arcctg⁡2xy = \operatorname{arcctg} 2^x.

Задача 13.83

Вычислить производную функции y=10x/log⁡3xy = 10^{x/\log_3 x}.

Задача 13.84

Вычислить производную функции y=231arctg⁡4x−531y = \dfrac{2}{\sqrt{31}} \operatorname{arctg} \dfrac{4x-5}{\sqrt{31}}.

Задача 13.85

Вычислить производную функции y=12arctg⁡x2−12xy = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \operatorname{arctg} \dfrac{x^2-1}{\sqrt{2}x}.

Задача 13.86

Вычислить производную функции y=ch⁡xy = \sqrt{\ch x}.

Задача 13.87

Вычислить производную функции y=arctg⁡th⁡xy = \operatorname{arctg} \th x.

Задача 13.88

Вычислить производную функции y=12th⁡x+28ln⁡1+2th⁡x1−2th⁡xy = \dfrac{1}{2} \th x + \dfrac{\sqrt{2}}{8} \ln \dfrac{1+\sqrt{2} \th x}{1-\sqrt{2} \th x}.

Задача 13.89

Вычислить производную функции y=sin⁡(cos⁡2x)⋅cos⁡(sin⁡2x)y = \sin (\cos^2 x) \cdot \cos( \sin^2 x).

Задача 13.90

Вычислить производную функции y=tg⁡2xtg⁡x2y = \dfrac{\tg^2 x}{\tg x^2}.

Задача 13.91

Вычислить производную функции y=ln⁡tg⁡x2−cos⁡x⋅ln⁡tg⁡xy = \ln \tg \dfrac{x}{2} - \cos x \cdot \ln \tg x.

Задача 13.92

Вычислить производную функции y=x2(sin⁡ln⁡x+cos⁡ln⁡x)y = \dfrac{x}{2} (\sin \ln x + \cos \ln x).

Задача 13.93

Вычислить производную функции y=cos⁡nx⋅cos⁡nxy = \cos^n x \cdot \cos nx.

Задача 13.94

Вычислить производную функции y=12ln⁡(1+x2)−14ln⁡(1+x4)−12(1+x2)\displaystyle y = \dfrac{1}{2} \ln (1 + x^2) - \dfrac{1}{4} \ln (1 + x^4) - \dfrac{1}{2(1 + x^2)}.

Задача 13.95

Вычислить производную функции y=ln⁡(x2+x4+1)y = \ln (x^2 + \sqrt{x^4 + 1}).

Задача 13.96

Вычислить производную функции y=2xln⁡(2x+4x2+1)−4x2+1y = 2x \ln \bigl(2x + \sqrt{4x^2 + 1}\bigr) - \sqrt{4x^2 + 1}.

Задача 13.97

Вычислить производную функции y=sin⁡(arcsin⁡x)y = \sin(\arcsin x).

Задача 13.98

Вычислить производную функции y=cos⁡(2arccos⁡x)y = \cos(2 \arccos x).

Задача 13.99

Вычислить производную функции y=cos⁡(3arccos⁡x)y = \cos(3 \arccos x).

Задача 13.100

Вычислить производную функции y=12arcsin⁡(23sin⁡x)y = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \arcsin \left( \sqrt{\dfrac{2}{3}} \sin x \right).

Задачи 51–100 из 152