Раздел III. Производная и дифференциал — § 13

Кудрявцев § 13. Производная. Формулы и правила вычисления производных. Дифференциал функции

Условия, ответы и подробные решения задач параграфа

152 задачи

152 из 152 с разбором

Задача 13.101

Вычислить производную функции y=arccos⁡x2n−1x2n+1y = \arccos \dfrac{x^{2n} - 1}{x^{2n} + 1} (при x>0x > 0).

Задача 13.102

Вычислить производную функции y=ln⁡(x+3x+2)2−2x+5(x+2)(x+3)y = \ln \left( \dfrac{x+3}{x+2} \right)^2 - \dfrac{2x+5}{(x+2)(x+3)}.

Задача 13.103

Вычислить производную функции y=126ln⁡(2+x32−x3)2y = \dfrac{1}{2\sqrt{6}} \ln \left( \dfrac{\sqrt{2} + x\sqrt{3}}{\sqrt{2} - x\sqrt{3}} \right)^2.

Задача 13.104

Вычислить производную функции y=12ln⁡(x−2x+2)2−43arctg⁡x3y = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \ln \left( \dfrac{x - \sqrt{2}}{x + \sqrt{2}} \right)^2 - \dfrac{4}{\sqrt{3}} \operatorname{arctg} \dfrac{x}{\sqrt{3}}.

Задача 13.105

Вычислить производную функции y=2sin⁡x2y = 2^{\sin x^2}.

Задача 13.106

Вычислить производную функции y=3cos⁡2xy = 3^{\cos^2 x}.

Задача 13.107

Вычислить производную функции y=e1−x1+xy = e^{\sqrt{\dfrac{1-x}{1+x}}}.

Задача 13.108

Вычислить производную функции y=arctg⁡tg⁡2xy = \operatorname{arctg} \tg^2 x.

Задача 13.109

Вычислить производную функции y=log⁡2log⁡3log⁡5xy = \log_2 \log_3 \log_5 x.

Задача 13.110

Вычислить производную функции y=ln⁡ln⁡ln⁡x2y = \ln \ln \ln x^2.

Задача 13.111

Вычислить производную функции y=x2+1−ln⁡(1x+1+1x2)y = \sqrt{x^2 + 1} - \ln\left( \dfrac{1}{x} + \sqrt{1 + \dfrac{1}{x^2}} \right).

Задача 13.112

Вычислить производную функции y=27ln⁡(x7+1+x7)y = \dfrac{2}{7} \ln \left( \sqrt{x^7} + \sqrt{1 + x^7} \right).

Задача 13.113

Вычислить производную функции y=tg⁡2x+ln⁡cos⁡2xy = \tg^2 x + \ln \cos^2 x.

Задача 13.114

Вычислить производную функции y=ln⁡(2cos⁡x+cos⁡2x)y = \ln \left( \sqrt{2} \cos x + \sqrt{\cos 2x} \right).

Задача 13.115

Вычислить производную функции y=eln⁡(x2+x+1)y = e^{\sqrt{\ln(x^2 + x + 1)}}.

Задача 13.116

Вычислить производную функции y=ln⁡1−sin⁡x1+sin⁡xy = \ln \sqrt{\dfrac{1 - \sin x}{1 + \sin x}}.

Задача 13.117

Вычислить производную функции y=xe2x−1−arctg⁡e2x−1y = \dfrac{x}{\sqrt{e^{2x} - 1}} - \operatorname{arctg} \sqrt{e^{2x} - 1}.

Задача 13.118

Вычислить производную функции y=ch⁡x2sh⁡2x2−ln⁡cth⁡x22y = \dfrac{\ch x^2}{\sh^2 x^2} - \ln \cth \dfrac{x^2}{2}.

Задача 13.119

Вычислить производную функции y=ln⁡tg⁡(π4+sin⁡x2)y = \ln \tg \left( \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{\sin x}{2} \right).

Задача 13.120

Вычислить производную функции y=arccos⁡(sin⁡x4−cos⁡x4)y = \arccos(\sin x^4 - \cos x^4).

Задача 13.121

Вычислить производную функции y=1sin⁡4x+1+ln⁡sin⁡4xsin⁡4x+1y = \dfrac{1}{\sin^4 x + 1} + \ln \dfrac{\sin^4 x}{\sin^4 x + 1}.

Задача 13.122

Вычислить производную функции y=ln⁡3−2cos⁡x3+2cos⁡xy = \ln \dfrac{\sqrt{3} - \sqrt{2} \cos x}{\sqrt{3} + \sqrt{2} \cos x}.

Задача 13.123

Вычислить производную функции y=1b2−a2ln⁡b+acos⁡x+b2−a2sin⁡xa+bcos⁡x\displaystyle y = \dfrac{1}{\sqrt{b^2 - a^2}} \ln \dfrac{b + a \cos x + \sqrt{b^2 - a^2} \sin x}{a + b \cos x} (при b2>a2b^2 > a^2).

Задача 13.124

Вычислить производную функции y=x2+3arctg⁡th⁡x23y = \dfrac{x}{2} + \sqrt{3} \arctg \dfrac{\th \dfrac{x}{2}}{\sqrt{3}}.

Задача 13.125

Вычислить производную функции y=arctg⁡ex/2−ln⁡exex+1y = \arctg e^{x/2} - \ln \sqrt{\dfrac{e^x}{e^x + 1}}.

Задача 13.126

Вычислить производную функции y=arcsin⁡sin⁡α⋅sin⁡x1−cos⁡α⋅cos⁡xy = \arcsin \dfrac{\sin \alpha \cdot \sin x}{1 - \cos \alpha \cdot \cos x}.

Задача 13.127

Вычислить производную функции y=1sin⁡αln⁡1+x1−x−ctg⁡α⋅ln⁡1+xcos⁡α1−xcos⁡αy = \dfrac{1}{\sin \alpha} \ln \dfrac{1 + x}{1 - x} - \operatorname{ctg} \alpha \cdot \ln \dfrac{1 + x \cos \alpha}{1 - x \cos \alpha}.

Задача 13.128

Вычислить производную функции y=ln⁡x2−2xcos⁡α+1+ctg⁡α⋅arctg⁡x−cos⁡αsin⁡αy = \ln \sqrt{x^2 - 2x \cos \alpha + 1} + \operatorname{ctg} \alpha \cdot \operatorname{arctg} \dfrac{x - \cos \alpha}{\sin \alpha}.

Задача 13.129

Вычислить производную функции y=x2a2+x4+a2ln⁡(x2+a2+x4)y = x^2 \sqrt{a^2 + x^4} + a^2 \ln (x^2 + \sqrt{a^2 + x^4}).

Задача 13.130

Вычислить производную функции y=th⁡x+24ln⁡1+2th⁡x1−2th⁡xy = \operatorname{th} x + \dfrac{\sqrt{2}}{4} \ln \dfrac{1 + \sqrt{2} \operatorname{th} x}{1 - \sqrt{2} \operatorname{th} x}.

Задача 13.131

Вычислить производную функции y=ln⁡x2+ax4+b2+abarctg⁡x2by = \ln \dfrac{x^2 + a}{\sqrt{x^4 + b^2}} + \dfrac{a}{b} \operatorname{arctg} \dfrac{x^2}{b}.

Задача 13.132

Вычислить производную функции y=xa2−x2+a2arcsin⁡x∣a∣y = x \sqrt{a^2 - x^2} + a^2 \arcsin \dfrac{x}{|a|}.

Задача 13.133

Вычислить производную функции y=x+ctg⁡x⋅ln⁡(1+sin⁡x)−ln⁡tg⁡(x/2)y = x + \operatorname{ctg} x \cdot \ln (1 + \sin x) - \ln \operatorname{tg} (x/2).

Задача 13.134

Вычислить производную функции y=x−ln⁡1+e2x+e−xarcctg⁡ex\displaystyle y = x - \ln \sqrt{1 + e^{2x}} + e^{-x} \operatorname{arcctg} e^x.

Задача 13.135

Вычислить производную функции y=ln⁡1−x231+x23+x43+3arctg⁡1+2x233y = \ln \dfrac{1 - \sqrt[3]{x^2}}{\sqrt{1 + \sqrt[3]{x^2} + \sqrt[3]{x^4}}} + \sqrt{3} \operatorname{arctg} \dfrac{1 + 2 \sqrt[3]{x^2}}{\sqrt{3}}.

Задача 13.136

Вычислить производную функции y=ln⁡x4+1−2 xx4+1+2 x−arctg⁡2 xx4+1y = \ln \sqrt{ \dfrac{ \sqrt{x^4+1} - \sqrt{2}\, x }{ \sqrt{x^4+1} + \sqrt{2}\, x } } - \operatorname{arctg} \dfrac{ \sqrt{2}\, x }{ \sqrt{x^4+1} }.

Задача 13.137

Вычислить производную функции y=ln⁡2x2+4x+42x2+2x+1+4arctg⁡(x+1)−arctg⁡(2x+1)y = \ln \dfrac{2x^2 + 4x + 4}{2x^2 + 2x + 1} + 4 \operatorname{arctg} (x + 1) - \operatorname{arctg} (2x + 1).

Задача 13.138

Вычислить производную функции y=5x+2x2+x+1+ln⁡(x−1)2x2+x+13+83arctg⁡2x+13y = \dfrac{5x + 2}{x^2 + x + 1} + \ln \sqrt[3]{\dfrac{(x - 1)^2}{x^2 + x + 1}} + \dfrac{8}{\sqrt{3}} \operatorname{arctg} \dfrac{2x + 1}{\sqrt{3}}.

Задача 13.139

Вычислить производную функции y=3−sin⁡x2cos⁡2x−2sin⁡x+2arcsin⁡1+sin⁡x2\displaystyle y = \dfrac{3 - \sin x}{2} \sqrt{\cos^2 x - 2 \sin x} + 2 \arcsin \dfrac{1 + \sin x}{\sqrt{2}}.

Задача 13.140

Вычислить производную функции y=exarcsin⁡exex+1+arctg⁡(ex)−ex\displaystyle y = e^x \arcsin \sqrt{\dfrac{e^x}{e^x+1}} + \operatorname{arctg}\bigl(\sqrt{e^x}\bigr) - \sqrt{e^x}.

Задача 13.141

Вычислить производную функции y=xx\displaystyle y = x^x (при x>0x>0).

Задача 13.142

Вычислить производную функции y=x7/ln⁡x\displaystyle y = x^{7 / \ln x} (при x>0,  x≠1x>0,\; x\neq 1).

Задача 13.143

Вычислить производную функции y=log⁡x7\displaystyle y = \log_x 7.

Задача 13.144

Вычислить производную функции y=log⁡2x⋅log⁡xe+log⁡2x⋅ln⁡2\displaystyle y = \log_2 x \cdot \log_x e + \log_2 x \cdot \ln 2.

Задача 13.145

Вычислить производную функции y=x2/ln⁡x−2xlog⁡xee1+ln⁡x+e1+2/log⁡xe\displaystyle y = x^{2 / \ln x} - 2x^{\log_x e} e^{1 + \ln x} + e^{1 + 2 / \log_x e} (при x>0,  x≠1x>0,\; x\neq 1).

Задача 13.146

Вычислить производную функции y=xx2\displaystyle y = x^{x^2} (при x>0x>0).

Задача 13.147

Вычислить производную функции y=xex\displaystyle y = x^{e^x} (при x>0x>0).

Задача 13.148

Вычислить производную функции y=2xx\displaystyle y = 2^{x^x} (при x>0x>0).

Задача 13.149

Вычислить производную функции y=xxx\displaystyle y = x^{x^x} (при x>0x>0).

Задача 13.150

Вычислить производную функции y=∣sin⁡x∣cos⁡x\displaystyle y = |\sin x|^{\cos x} (при sin⁡x≠0\sin x \neq 0).

Задачи 101–150 из 152