Кудрявцев § 13. Производная. Формулы и правила вычисления…

Задача 13.101

Вычислить производную функции

y = \arccos \dfrac{x^{2n} - 1}{x^{2n} + 1}

(при

x > 0

).

Задача 13.102

Вычислить производную функции

y = \ln \left( \dfrac{x+3}{x+2} \right)^2 - \dfrac{2x+5}{(x+2)(x+3)}

.

Задача 13.103

Вычислить производную функции

y = \dfrac{1}{2\sqrt{6}} \ln \left( \dfrac{\sqrt{2} + x\sqrt{3}}{\sqrt{2} - x\sqrt{3}} \right)^2

.

Задача 13.104

Вычислить производную функции

y = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \ln \left( \dfrac{x - \sqrt{2}}{x + \sqrt{2}} \right)^2 - \dfrac{4}{\sqrt{3}} \operatorname{arctg} \dfrac{x}{\sqrt{3}}

.

Задача 13.105

Вычислить производную функции

y = 2^{\sin x^2}

.

Задача 13.106

Вычислить производную функции

y = 3^{\cos^2 x}

.

Задача 13.107

Вычислить производную функции

y = e^{\sqrt{\dfrac{1-x}{1+x}}}

.

Задача 13.108

Вычислить производную функции

y = \operatorname{arctg} \tg^2 x

.

Задача 13.109

Вычислить производную функции

y = \log_2 \log_3 \log_5 x

.

Задача 13.110

Вычислить производную функции

y = \ln \ln \ln x^2

.

Задача 13.111

Вычислить производную функции

y = \sqrt{x^2 + 1} - \ln\left( \dfrac{1}{x} + \sqrt{1 + \dfrac{1}{x^2}} \right)

.

Задача 13.112

Вычислить производную функции

y = \dfrac{2}{7} \ln \left( \sqrt{x^7} + \sqrt{1 + x^7} \right)

.

Задача 13.113

Вычислить производную функции

y = \tg^2 x + \ln \cos^2 x

.

Задача 13.114

Вычислить производную функции

y = \ln \left( \sqrt{2} \cos x + \sqrt{\cos 2x} \right)

.

Задача 13.115

Вычислить производную функции

y = e^{\sqrt{\ln(x^2 + x + 1)}}

.

Задача 13.116

Вычислить производную функции

y = \ln \sqrt{\dfrac{1 - \sin x}{1 + \sin x}}

.

Задача 13.117

Вычислить производную функции

y = \dfrac{x}{\sqrt{e^{2x} - 1}} - \operatorname{arctg} \sqrt{e^{2x} - 1}

.

Задача 13.118

Вычислить производную функции

y = \dfrac{\ch x^2}{\sh^2 x^2} - \ln \cth \dfrac{x^2}{2}

.

Задача 13.119

Вычислить производную функции

y = \ln \tg \left( \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{\sin x}{2} \right)

.

Задача 13.120

Вычислить производную функции

y = \arccos(\sin x^4 - \cos x^4)

.

Задача 13.121

Вычислить производную функции

y = \dfrac{1}{\sin^4 x + 1} + \ln \dfrac{\sin^4 x}{\sin^4 x + 1}

.

Задача 13.122

Вычислить производную функции

y = \ln \dfrac{\sqrt{3} - \sqrt{2} \cos x}{\sqrt{3} + \sqrt{2} \cos x}

.

Задача 13.123

Вычислить производную функции

\displaystyle y = \dfrac{1}{\sqrt{b^2 - a^2}} \ln \dfrac{b + a \cos x + \sqrt{b^2 - a^2} \sin x}{a + b \cos x}

(при

b^2 > a^2

).

Задача 13.124

Вычислить производную функции

y = \dfrac{x}{2} + \sqrt{3} \arctg \dfrac{\th \dfrac{x}{2}}{\sqrt{3}}

.

Задача 13.125

Вычислить производную функции

y = \arctg e^{x/2} - \ln \sqrt{\dfrac{e^x}{e^x + 1}}

.

Задача 13.126

Вычислить производную функции

y = \arcsin \dfrac{\sin \alpha \cdot \sin x}{1 - \cos \alpha \cdot \cos x}

.

Задача 13.127

Вычислить производную функции

y = \dfrac{1}{\sin \alpha} \ln \dfrac{1 + x}{1 - x} - \operatorname{ctg} \alpha \cdot \ln \dfrac{1 + x \cos \alpha}{1 - x \cos \alpha}

.

Задача 13.128

Вычислить производную функции

y = \ln \sqrt{x^2 - 2x \cos \alpha + 1} + \operatorname{ctg} \alpha \cdot \operatorname{arctg} \dfrac{x - \cos \alpha}{\sin \alpha}

.

Задача 13.129

Вычислить производную функции

y = x^2 \sqrt{a^2 + x^4} + a^2 \ln (x^2 + \sqrt{a^2 + x^4})

.

Задача 13.130

Вычислить производную функции

y = \operatorname{th} x + \dfrac{\sqrt{2}}{4} \ln \dfrac{1 + \sqrt{2} \operatorname{th} x}{1 - \sqrt{2} \operatorname{th} x}

.

Задача 13.131

Вычислить производную функции

y = \ln \dfrac{x^2 + a}{\sqrt{x^4 + b^2}} + \dfrac{a}{b} \operatorname{arctg} \dfrac{x^2}{b}

.

Задача 13.132

Вычислить производную функции

y = x \sqrt{a^2 - x^2} + a^2 \arcsin \dfrac{x}{|a|}

.

Задача 13.133

Вычислить производную функции

y = x + \operatorname{ctg} x \cdot \ln (1 + \sin x) - \ln \operatorname{tg} (x/2)

.

Задача 13.134

Вычислить производную функции

\displaystyle y = x - \ln \sqrt{1 + e^{2x}} + e^{-x} \operatorname{arcctg} e^x

.

Задача 13.135

Вычислить производную функции

y = \ln \dfrac{1 - \sqrt[3]{x^2}}{\sqrt{1 + \sqrt[3]{x^2} + \sqrt[3]{x^4}}} + \sqrt{3} \operatorname{arctg} \dfrac{1 + 2 \sqrt[3]{x^2}}{\sqrt{3}}

.

Задача 13.136

Вычислить производную функции

y = \ln \sqrt{ \dfrac{ \sqrt{x^4+1} - \sqrt{2}\, x }{ \sqrt{x^4+1} + \sqrt{2}\, x } } - \operatorname{arctg} \dfrac{ \sqrt{2}\, x }{ \sqrt{x^4+1} }

.

Задача 13.137

Вычислить производную функции

y = \ln \dfrac{2x^2 + 4x + 4}{2x^2 + 2x + 1} + 4 \operatorname{arctg} (x + 1) - \operatorname{arctg} (2x + 1)

.

Задача 13.138

Вычислить производную функции

y = \dfrac{5x + 2}{x^2 + x + 1} + \ln \sqrt[3]{\dfrac{(x - 1)^2}{x^2 + x + 1}} + \dfrac{8}{\sqrt{3}} \operatorname{arctg} \dfrac{2x + 1}{\sqrt{3}}

.

Задача 13.139

Вычислить производную функции

\displaystyle y = \dfrac{3 - \sin x}{2} \sqrt{\cos^2 x - 2 \sin x} + 2 \arcsin \dfrac{1 + \sin x}{\sqrt{2}}

.

Задача 13.140

Вычислить производную функции

\displaystyle y = e^x \arcsin \sqrt{\dfrac{e^x}{e^x+1}} + \operatorname{arctg}\bigl(\sqrt{e^x}\bigr) - \sqrt{e^x}

.

Задача 13.141

Вычислить производную функции

\displaystyle y = x^x

(при

x>0

).

Задача 13.142

Вычислить производную функции

\displaystyle y = x^{7 / \ln x}

(при

x>0,\; x\neq 1

).

Задача 13.143

Вычислить производную функции

\displaystyle y = \log_x 7

.

Задача 13.144

Вычислить производную функции

\displaystyle y = \log_2 x \cdot \log_x e + \log_2 x \cdot \ln 2

.

Задача 13.145

Вычислить производную функции

\displaystyle y = x^{2 / \ln x} - 2x^{\log_x e} e^{1 + \ln x} + e^{1 + 2 / \log_x e}

(при

x>0,\; x\neq 1

).

Задача 13.146

Вычислить производную функции

\displaystyle y = x^{x^2}

(при

x>0

).

Задача 13.147

Вычислить производную функции

\displaystyle y = x^{e^x}

(при

x>0

).

Задача 13.148

Вычислить производную функции

\displaystyle y = 2^{x^x}

(при

x>0

).

Задача 13.149

Вычислить производную функции

\displaystyle y = x^{x^x}

(при

x>0

).

Задача 13.150

Вычислить производную функции

\displaystyle y = |\sin x|^{\cos x}

(при

\sin x \neq 0

).

Кудрявцев § 13. Производная. Формулы и правила вычисления производных. Дифференциал функции