Раздел III. Производная и дифференциал — § 13. Производная. Формулы и правила вычисления производных. Дифференциал функции

Кудрявцев — задача 13.90

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Вычислить производную функции

y = \dfrac{\tg^2 x}{\tg x^2}

Ответ:

y' = \dfrac{2\tg x}{\cos^2 x \,\tg x^2} - \dfrac{2x \tg^2 x}{\cos^2 x^2 \,\tg^2 x^2}

Решение

Запишем функцию в виде

y = \tg^2 x \cdot (\tg x^2)^{-1}

. Дифференцируем как частное.

y' = \dfrac{(\tg^2 x)' \cdot \tg x^2 - \tg^2 x \cdot (\tg x^2)'}{\tg^2 x^2}.

Ищем производные:

(\tg^2 x)' = 2\tg x \cdot (\tg x)' = 2\tg x \cdot \dfrac{1}{\cos^2 x}.

(\tg x^2)' = \dfrac{1}{\cos^2 x^2} \cdot (x^2)' = \dfrac{2x}{\cos^2 x^2}.

Подставляем:

y' = \dfrac{ \dfrac{2\tg x}{\cos^2 x} \cdot \tg x^2 - \tg^2 x \cdot \dfrac{2x}{\cos^2 x^2} }{\tg^2 x^2}= \dfrac{2\tg x \,\tg x^2}{\cos^2 x \,\tg^2 x^2} - \dfrac{2x \tg^2 x}{\cos^2 x^2 \,\tg^2 x^2}.

Упростим первое слагаемое:

\dfrac{\tg x^2}{\tg^2 x^2} = \dfrac{1}{\tg x^2}

. Тогда

y' = \dfrac{2\tg x}{\cos^2 x \,\tg x^2} - \dfrac{2x \tg^2 x}{\cos^2 x^2 \,\tg^2 x^2}.