Раздел III. Производная и дифференциал — § 13. Производная. Формулы и правила вычисления производных. Дифференциал функции

Кудрявцев — задача 13.63

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Вычислить производную функции

y = \left(\dfrac{ax+b}{cx+d}\right)^{1/n}

Ответ:

y' = \dfrac{ad-bc}{n} \cdot \dfrac{(ax+b)^{\frac{1}{n}-1}}{(cx+d)^{\frac{1}{n}+1}}

Решение

Дифференцируем как сложную функцию: сначала внешняя степень

u^{1/n}

, затем внутренняя дробь

\dfrac{ax+b}{cx+d}

y' = \dfrac{1}{n} \left(\dfrac{ax+b}{cx+d}\right)^{\frac{1}{n}-1} \cdot \left(\dfrac{ax+b}{cx+d}\right)'.

Производная дроби:

\left(\dfrac{ax+b}{cx+d}\right)' = \dfrac{a(cx+d)-c(ax+b)}{(cx+d)^2} = \dfrac{ad-bc}{(cx+d)^2}.

Тогда

y' = \dfrac{1}{n} \left(\dfrac{ax+b}{cx+d}\right)^{\frac{1}{n}-1} \cdot \dfrac{ad-bc}{(cx+d)^2}= \dfrac{ad-bc}{n} \cdot \dfrac{(ax+b)^{\frac{1}{n}-1}}{(cx+d)^{\frac{1}{n}+1}}.