Раздел III. Производная и дифференциал — § 13. Производная. Формулы и правила вычисления производных. Дифференциал функции

Кудрявцев — задача 13.58

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Вычислить производную функции

y = A e^{-k^2 x} \sin(\omega x + \alpha)

Ответ:

y' = A e^{-k^2 x} \bigl( \omega \cos(\omega x + \alpha) - k^2 \sin(\omega x + \alpha) \bigr)

Решение

Производная произведения:

y' = A \left[ (e^{-k^2 x})' \sin(\omega x + \alpha) + e^{-k^2 x} (\sin(\omega x + \alpha))' \right].

Вычисляем производные множителей:

(e^{-k^2 x})' = -k^2 e^{-k^2 x},\quad(\sin(\omega x + \alpha))' = \omega \cos(\omega x + \alpha).

Подставляем:

y' = A\left( -k^2 e^{-k^2 x} \sin(\omega x + \alpha) + \omega e^{-k^2 x} \cos(\omega x + \alpha) \right)=

= A e^{-k^2 x} \bigl( \omega \cos(\omega x + \alpha) - k^2 \sin(\omega x + \alpha) \bigr).