Раздел III. Производная и дифференциал — § 13. Производная. Формулы и правила вычисления производных. Дифференциал функции

Кудрявцев — задача 13.100

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Вычислить производную функции

y = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \arcsin \left( \sqrt{\dfrac{2}{3}} \sin x \right)

Ответ:

y' = \dfrac{\cos x}{\sqrt{3 - 2\sin^2 x}}

Решение

Дифференцируем с постоянным множителем

\dfrac{1}{\sqrt{2}}

y' = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{1 - \left( \sqrt{\dfrac{2}{3}} \sin x \right)^2}} \cdot \left( \sqrt{\dfrac{2}{3}} \sin x \right)'.

Упростим выражение под корнем:

1 - \dfrac{2}{3} \sin^2 x = \dfrac{3 - 2\sin^2 x}{3}.

Производная

u' = \sqrt{\dfrac{2}{3}} \cos x

.
Тогда

y' = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{3 - 2\sin^2 x}{3}}} \cdot \sqrt{\dfrac{2}{3}} \cos x= \dfrac{1}{\sqrt{2}} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3 - 2\sin^2 x}} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cos x.

Сокращаем

\sqrt{3}

\sqrt{2}

y' = \dfrac{\cos x}{\sqrt{3 - 2\sin^2 x}}.