Раздел III. Производная и дифференциал — § 13. Производная. Формулы и правила вычисления производных. Дифференциал функции

Кудрявцев — задача 13.92

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Вычислить производную функции

y = \dfrac{x}{2} (\sin \ln x + \cos \ln x)

Ответ:

y' = \cos \ln x

Решение

Раскроем скобки:

y = \dfrac{x}{2}\sin \ln x + \dfrac{x}{2}\cos \ln x

. Дифференцируем каждое слагаемое как произведение.

\begin{aligned}\left(\dfrac{x}{2} \sin \ln x\right)' &= \dfrac{1}{2}\sin \ln x + \dfrac{x}{2} \cos \ln x \cdot \dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{2}\sin \ln x + \dfrac{1}{2}\cos \ln x. \\\left(\dfrac{x}{2} \cos \ln x\right)' &= \dfrac{1}{2}\cos \ln x + \dfrac{x}{2} (-\sin \ln x) \cdot \dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{2}\cos \ln x - \dfrac{1}{2}\sin \ln x.\end{aligned}

Суммируем:

y' = \left(\dfrac{1}{2}\sin \ln x + \dfrac{1}{2}\cos \ln x\right) + \left(\dfrac{1}{2}\cos \ln x - \dfrac{1}{2}\sin \ln x\right) = \cos \ln x.