Раздел III. Производная и дифференциал — § 13. Производная. Формулы и правила вычисления производных. Дифференциал функции

Кудрявцев — задача 13.96

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Вычислить производную функции

y = 2x \ln \bigl(2x + \sqrt{4x^2 + 1}\bigr) - \sqrt{4x^2 + 1}

Ответ:

y' = 2 \ln\bigl(2x + \sqrt{4x^2 + 1}\bigr)

Решение

Дифференцируем первое слагаемое как произведение

u = 2x

v = \ln(2x + \sqrt{4x^2+1})

, затем минус производная корня.

(2x \ln \bigl(2x + \sqrt{4x^2 + 1}\bigr))' = 2 \ln(2x + \sqrt{4x^2+1}) + 2x \cdot \dfrac{1}{2x + \sqrt{4x^2+1}} \cdot (2x + \sqrt{4x^2+1})'.

(2x + \sqrt{4x^2+1})' = 2 + \dfrac{1}{2\sqrt{4x^2+1}} \cdot 8x = 2 + \dfrac{4x}{\sqrt{4x^2+1}}.

Второе выражение:

2x \cdot \dfrac{1}{2x + \sqrt{4x^2+1}} \cdot \left( 2 + \dfrac{4x}{\sqrt{4x^2+1}} \right)= \dfrac{2x \left( 2\sqrt{4x^2+1} + 4x \right)}{\sqrt{4x^2+1} \, (2x + \sqrt{4x^2+1})}=

= \dfrac{4x ( \sqrt{4x^2+1} + 2x )}{\sqrt{4x^2+1} \, (2x + \sqrt{4x^2+1})} = \dfrac{4x}{\sqrt{4x^2+1}}.

Итак, производная первого слагаемого:

2 \ln(2x + \sqrt{4x^2+1}) + \dfrac{4x}{\sqrt{4x^2+1}}

.
Производная второго слагаемого:

-\sqrt{4x^2+1}' = -\dfrac{1}{2\sqrt{4x^2+1}} \cdot 8x = -\dfrac{4x}{\sqrt{4x^2+1}}.

Складываем:

y' = 2 \ln(2x + \sqrt{4x^2+1}) + \dfrac{4x}{\sqrt{4x^2+1}} - \dfrac{4x}{\sqrt{4x^2+1}} = 2 \ln(2x + \sqrt{4x^2+1}).