Раздел III. Производная и дифференциал — § 13. Производная. Формулы и правила вычисления производных. Дифференциал функции

Кудрявцев — задача 13.60

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Вычислить производную функции

y = \sqrt{2x^2 + \sqrt{x^2 + 1}}

Ответ:

y' = \dfrac{4x + \dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}}{2\sqrt{2x^2 + \sqrt{x^2 + 1}}}

Решение

Представим корень как степень

1/2

y' = \dfrac{1}{2\sqrt{2x^2 + \sqrt{x^2 + 1}}} \cdot \left( 2x^2 + \sqrt{x^2 + 1} \right)'.

Найдём производную подкоренного выражения:

(2x^2)' = 4x,\quad(\sqrt{x^2 + 1})' = \dfrac{1}{2\sqrt{x^2 + 1}} \cdot 2x = \dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}.

Суммируем:

4x + \dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}

.
Тогда

y' = \dfrac{4x + \dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}}{2\sqrt{2x^2 + \sqrt{x^2 + 1}}}.