Раздел III. Производная и дифференциал — § 13. Производная. Формулы и правила вычисления производных. Дифференциал функции

Кудрявцев — задача 13.57

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Вычислить производную функции

y = (a \cos x + b \sin x)^\alpha

Ответ:

y' = \alpha (a \cos x + b \sin x)^{\alpha-1} (b \cos x - a \sin x)

Решение

Производная степенной функции:

y' = \alpha (a \cos x + b \sin x)^{\alpha-1} \cdot (a \cos x + b \sin x)'.

Производная внутренней скобки:

(a \cos x + b \sin x)' = -a \sin x + b \cos x.

Окончательно:

y' = \alpha (a \cos x + b \sin x)^{\alpha-1} (b \cos x - a \sin x).