Раздел III. Производная и дифференциал — § 13. Производная. Формулы и правила вычисления производных. Дифференциал функции

Кудрявцев — задача 13.72

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Вычислить производную функции

y = \dfrac{1}{2} \operatorname{arctg} \dfrac{x}{2} - \dfrac{1}{3} \operatorname{arctg} \dfrac{x}{3}

Ответ:

y' = \dfrac{5}{(4+x^2)(9+x^2)}

Решение

Последовательно дифференцируем:

y' = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{1+(x/2)^2} \cdot \dfrac{1}{2}- \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{1+(x/3)^2} \cdot \dfrac{1}{3}= \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{4}{4+x^2} - \dfrac{1}{9} \cdot \dfrac{9}{9+x^2}= \dfrac{1}{4+x^2} - \dfrac{1}{9+x^2}.

Приводим к общему знаменателю:

y' = \dfrac{(9+x^2) - (4+x^2)}{(4+x^2)(9+x^2)} = \dfrac{5}{(4+x^2)(9+x^2)}.