Раздел III. Производная и дифференциал — § 13. Производная. Формулы и правила вычисления производных. Дифференциал функции

Кудрявцев — задача 13.66

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Вычислить производную функции

y = \dfrac{\sqrt{x^3} + \sqrt{xa^2} - \sqrt{x^2a} - \sqrt{a^3}}{\sqrt[4]{a^5} + \sqrt[4]{ax^4} - \sqrt[4]{a^4x} - \sqrt[4]{x^5}}

Ответ:

y' = -\dfrac{1}{4\sqrt[4]{x^3}}

Решение

Полагаем

a\ge 0

x\ge 0

, причём знаменатель не обращается в нуль. Запишем корни в степенном виде.
Числитель:

x^{3/2} + a x^{1/2} - a^{1/2}x - a^{3/2}= x(x^{1/2} - a^{1/2}) + a(x^{1/2} - a^{1/2}) = (x^{1/2} - a^{1/2})(x + a).

Знаменатель:

a^{5/4} + a^{1/4}x - a x^{1/4} - x^{5/4}= a^{1/4}(a + x) - x^{1/4}(a + x) = (a + x)(a^{1/4} - x^{1/4}).

Отношение:

y = \dfrac{(x^{1/2} - a^{1/2})(x+a)}{(x+a)(a^{1/4} - x^{1/4})} = \dfrac{x^{1/2} - a^{1/2}}{a^{1/4} - x^{1/4}}.

Разложим числитель на множители:

x^{1/2} - a^{1/2} = (x^{1/4} - a^{1/4})(x^{1/4} + a^{1/4})

. Тогда

y = \dfrac{(x^{1/4} - a^{1/4})(x^{1/4} + a^{1/4})}{-(x^{1/4} - a^{1/4})} = -(x^{1/4} + a^{1/4}), \quad x \neq a.

При

x = a

функция также определена и непрерывна, но это значение не влияет на производную в остальных точках.
Дифференцируем:

y' = -\dfrac{1}{4}x^{-3/4}.