Раздел III. Производная и дифференциал — § 13. Производная. Формулы и правила вычисления производных. Дифференциал функции

Кудрявцев — задача 13.81

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Вычислить производную функции

y = 3^{\operatorname{arctg}(2x+\pi)}

Ответ:

y' = \dfrac{2\ln 3 \cdot 3^{\operatorname{arctg}(2x+\pi)}}{1+(2x+\pi)^2}

Решение

Дифференцируем показательную функцию с основанием 3:

y' = 3^{\operatorname{arctg}(2x+\pi)} \ln 3 \cdot \left(\operatorname{arctg}(2x+\pi)\right)'.

Производная арктангенса:

\left(\operatorname{arctg}(2x+\pi)\right)' = \dfrac{1}{1+(2x+\pi)^2} \cdot 2

.
Тогда

y' = 2\ln 3 \cdot 3^{\operatorname{arctg}(2x+\pi)} \cdot \dfrac{1}{1+(2x+\pi)^2}.