Раздел III. Производная и дифференциал — § 13. Производная. Формулы и правила вычисления производных. Дифференциал функции

Кудрявцев — задача 13.56

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Вычислить производную функции

y = \dfrac{\cos 3}{2} x - \dfrac{1}{4} \sin(2x + 3)

Ответ:

y' = \sin(x+3) \sin x

Решение

Производная линейного слагаемого:

\left(\dfrac{\cos 3}{2} x\right)' = \dfrac{\cos 3}{2}

.
Производная синуса с учётом внутренней функции:

\left(-\dfrac{1}{4} \sin(2x + 3)\right)' = -\dfrac{1}{4} \cos(2x + 3) \cdot 2 = -\dfrac{1}{2} \cos(2x + 3).

Складываем:

y' = \dfrac{\cos 3}{2} - \dfrac{1}{2} \cos(2x + 3) = \dfrac{1}{2}\bigl(\cos 3 - \cos(2x+3)\bigr).

Применяем формулу разности косинусов

\cos A - \cos B = -2\sin\dfrac{A+B}{2}\sin\dfrac{A-B}{2}

\cos 3 - \cos(2x+3) = -2 \sin\dfrac{3 + (2x+3)}{2} \sin\dfrac{3 - (2x+3)}{2}= -2 \sin(x+3) \sin(-x) = 2 \sin(x+3) \sin x.

Тогда

y' = \dfrac{1}{2} \cdot 2 \sin(x+3) \sin x = \sin(x+3) \sin x.