Раздел III. Производная и дифференциал — § 13. Производная. Формулы и правила вычисления производных. Дифференциал функции

Кудрявцев — задача 13.91

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 13.91

Вычислить производную функции y=ln⁡tg⁡x2−cos⁡x⋅ln⁡tg⁡xy = \ln \tg \dfrac{x}{2} - \cos x \cdot \ln \tg x.
Ответ:y′=sin⁡x⋅ln⁡tg⁡xy' = \sin x \cdot \ln \tg x

Решение

Дифференцируем разность и произведение во втором слагаемом.

Производная первого слагаемого:(ln⁡tg⁡x2)′=1tg⁡x2⋅1cos⁡2x2⋅12=12sin⁡x2cos⁡x2=1sin⁡x.\left(\ln \tg \dfrac{x}{2}\right)' = \dfrac{1}{\tg \dfrac{x}{2}} \cdot \dfrac{1}{\cos^2 \dfrac{x}{2}} \cdot \dfrac{1}{2}
= \dfrac{1}{2 \sin \dfrac{x}{2} \cos \dfrac{x}{2}} = \dfrac{1}{\sin x}.Производная второго слагаемого −cos⁡xln⁡tg⁡x-\cos x \ln \tg x:−[(−sin⁡x)ln⁡tg⁡x+cos⁡x⋅1tg⁡x⋅1cos⁡2x]=sin⁡xln⁡tg⁡x−cos⁡x⋅cos⁡xsin⁡x⋅1cos⁡2x.- \left[ (-\sin x) \ln \tg x + \cos x \cdot \dfrac{1}{\tg x} \cdot \dfrac{1}{\cos^2 x} \right] = \sin x \ln \tg x - \cos x \cdot \dfrac{\cos x}{\sin x} \cdot \dfrac{1}{\cos^2 x}.Упростим дробь: 1tg⁡x=cos⁡xsin⁡x\dfrac{1}{\tg x} = \dfrac{\cos x}{\sin x}. Тогда cos⁡x⋅cos⁡xsin⁡x⋅1cos⁡2x=1sin⁡x\cos x \cdot \dfrac{\cos x}{\sin x} \cdot \dfrac{1}{\cos^2 x} = \dfrac{1}{\sin x}.
Таким образом, второе слагаемое даёт sin⁡xln⁡tg⁡x−1sin⁡x\sin x \ln \tg x - \dfrac{1}{\sin x}.

Складываем с первым (1sin⁡x\dfrac{1}{\sin x}):y′=1sin⁡x+sin⁡xln⁡tg⁡x−1sin⁡x=sin⁡xln⁡tg⁡x.y' = \dfrac{1}{\sin x} + \sin x \ln \tg x - \dfrac{1}{\sin x} = \sin x \ln \tg x.
Кудрявцев № 13.91 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика