Раздел III. Производная и дифференциал — § 13. Производная. Формулы и правила вычисления производных. Дифференциал функции

Кудрявцев — задача 13.89

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Вычислить производную функции

y = \sin (\cos^2 x) \cdot \cos( \sin^2 x)

Ответ:

y' = -\sin 2x \cdot \cos(\cos 2x)

Решение

Обозначим

u = \sin(\cos^2 x)

v = \cos(\sin^2 x)

. Производная произведения:

y' = u'v + uv'

.
Найдём

u'

u' = \cos(\cos^2 x) \cdot (\cos^2 x)' = \cos(\cos^2 x) \cdot 2\cos x \cdot (-\sin x) = -\sin 2x \cdot \cos(\cos^2 x).

(так как

2\sin x \cos x = \sin 2x

).
Найдём

v'

v' = -\sin(\sin^2 x) \cdot (\sin^2 x)' = -\sin(\sin^2 x) \cdot 2\sin x \cos x = -\sin 2x \cdot \sin(\sin^2 x).

Теперь подставляем:

y' = \bigl(-\sin 2x \cos(\cos^2 x)\bigr) \cos(\sin^2 x) + \sin(\cos^2 x) \bigl(-\sin 2x \sin(\sin^2 x)\bigr)=

= -\sin 2x \Bigl[ \cos(\cos^2 x) \cos(\sin^2 x) + \sin(\cos^2 x) \sin(\sin^2 x) \Bigr].

В скобках стоит формула косинуса разности:

\cos(\cos^2 x) \cos(\sin^2 x) + \sin(\cos^2 x) \sin(\sin^2 x) = \cos(\cos^2 x - \sin^2 x).

Поскольку

\cos^2 x - \sin^2 x = \cos 2x

, то скобка равна

\cos(\cos 2x)

.
Таким образом,

y' = -\sin 2x \cdot \cos(\cos 2x).