Раздел III. Производная и дифференциал — § 13. Производная. Формулы и правила вычисления производных. Дифференциал функции

Кудрявцев — задача 13.83

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Вычислить производную функции

y = 10^{x/\log_3 x}

Ответ:

y' = 10^{x/\log_3 x} \ln 10 \ln 3 \dfrac{\ln x - 1}{(\ln x)^2}

Решение

Функция определена при

x>0,\; x\neq 1

(так как

\log_3 x \neq 0

).
Перейдём к натуральному логарифму:

\log_3 x = \dfrac{\ln x}{\ln 3} \quad\Rightarrow\quad \dfrac{x}{\log_3 x} = x \cdot \dfrac{\ln 3}{\ln x} = \ln 3 \cdot \dfrac{x}{\ln x}.

Тогда

y = 10^{x\ln 3 / \ln x} = e^{x \ln 10 \cdot \ln 3 / \ln x}

.
Логарифмируем:

\ln y = \ln 10 \cdot \ln 3 \cdot \dfrac{x}{\ln x}

.
Дифференцируем обе части по

x

\dfrac{y'}{y} = \ln 10 \cdot \ln 3 \cdot \left(\dfrac{1 \cdot \ln x - x \cdot \dfrac{1}{x}}{(\ln x)^2}\right) = \ln 10 \cdot \ln 3 \cdot \dfrac{\ln x - 1}{(\ln x)^2}.

Следовательно,

y' = y \cdot \ln 10 \cdot \ln 3 \cdot \dfrac{\ln x - 1}{(\ln x)^2} = 10^{x/\log_3 x} \cdot \ln 10 \cdot \ln 3 \cdot \dfrac{\ln x - 1}{(\ln x)^2}.