Раздел III. Производная и дифференциал — § 13. Производная. Формулы и правила вычисления производных. Дифференциал функции

Кудрявцев — задача 13.62

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 13.62

Вычислить производную функции y=1−x31+x33y = \sqrt[3]{\dfrac{1 - x^3}{1 + x^3}}.
Ответ:y′=−2x2(1+x3)4/3(1−x3)2/3y' = \dfrac{-2x^2}{(1 + x^3)^{4/3} (1 - x^3)^{2/3}}

Решение

Запишем как степень: y=(1−x31+x3)1/3y = \left( \dfrac{1 - x^3}{1 + x^3} \right)^{1/3}.
Применяем правило дифференцирования сложной функции:
y′=13(1−x31+x3)−2/3⋅(1−x31+x3)′.y' = \dfrac{1}{3} \left( \dfrac{1 - x^3}{1 + x^3} \right)^{-2/3} \cdot \left( \dfrac{1 - x^3}{1 + x^3} \right)'.Вычислим производную дроби:(1−x31+x3)′=−3x2(1+x3)−(1−x3)⋅3x2(1+x3)2=−3x2(1+x3+1−x3)(1+x3)2=−6x2(1+x3)2.\left( \dfrac{1 - x^3}{1 + x^3} \right)' = \dfrac{-3x^2(1 + x^3) - (1 - x^3) \cdot 3x^2}{(1 + x^3)^2}
= \dfrac{-3x^2(1 + x^3 + 1 - x^3)}{(1 + x^3)^2} = \dfrac{-6x^2}{(1 + x^3)^2}.Подставляем:y′=13(1−x31+x3)−2/3⋅−6x2(1+x3)2=−2x2(1−x31+x3)−2/31(1+x3)2.y' = \dfrac{1}{3} \left( \dfrac{1 - x^3}{1 + x^3} \right)^{-2/3} \cdot \dfrac{-6x^2}{(1 + x^3)^2}
= -2x^2 \left( \dfrac{1 - x^3}{1 + x^3} \right)^{-2/3} \dfrac{1}{(1 + x^3)^2}.Приводим к общему знаменателю, используя свойства степеней:y′=−2x2(1+x3)2(1−x31+x3)2/3=−2x2(1+x3)2−2/3(1−x3)2/3=−2x2(1+x3)4/3(1−x3)2/3.y' = \dfrac{-2x^2}{(1 + x^3)^2 \left( \dfrac{1 - x^3}{1 + x^3} \right)^{2/3}}
= \dfrac{-2x^2}{(1 + x^3)^{2 - 2/3} (1 - x^3)^{2/3}}
= \dfrac{-2x^2}{(1 + x^3)^{4/3} (1 - x^3)^{2/3}}.
Кудрявцев № 13.62 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика