Кудрявцев § 13. Производная. Формулы и правила вычисления…

Задача 13.1

Найти

f'(x_0)

:
1)

f(x)=x^2,\; x_0=0{,}1

;
2)

f(x)=2\sin 3x,\; x_0=\pi/6

;
3)

f(x)=1+\ln 2x,\; x_0=1

;
4)

f(x)=x+\ctg x,\; x_0=\pi/4

.

Задача 13.2

Найти

f'(x)

и указать область существования производной:
1)

f(x)=x^3+2x

;
2)

f(x)=1/x

;
3)

f(x)=\sqrt{x}

;
4)

f(x)=x\sqrt[3]{x}

;
5)

f(x)=\dfrac{1}{1+x^2}

;
6)

f(x)=2^{x+1}

;
7)

f(x)=\ln x

;
8)

f(x)=\sin 2x

;
9)

f(x)=\ctg x+2

;
10)

f(x)=\arcsin x

;
11)

f(x)=\arccos 3x

;
12)

f(x)=7\arctg(x+1)

.

Задача 13.3

y = x^3 + x^2 + x + 1

. Вычислить производную

y'

и указать область её существования.

Задача 13.4

y = ax^3 + bx^2 + cx + d

, где

a,b,c,d

— постоянные. Вычислить производную

y'

и указать область её существования.

Задача 13.5

y = 7x^{13} + 13x^{-7}

. Вычислить производную

y'

и указать область её существования.

Задача 13.6

y = \dfrac{\ln 3}{x} + e^2

. Вычислить производную

y'

и указать область её существования.

Задача 13.7

y = \dfrac{a}{x^2} + \dfrac{b}{x^3} + \dfrac{c}{x^4}

. Вычислить производную

y'

и указать область её существования.

Задача 13.8

y = \sqrt{x} + \sqrt[3]{x} + \sqrt[4]{x}

. Вычислить производную

y'

и указать область её существования.

Задача 13.9

y = \dfrac{3}{5}x^{5/3} + x^{-2} + \dfrac{2}{x}

. Вычислить производную

y'

и указать область её существования.

Задача 13.10

y = x^3 \sqrt[3]{x^2} + x^7 \sqrt[3]{x}

. Вычислить производную

y'

и указать область её существования.

Задача 13.11

y = x^{\sqrt{5}} - x^{-\sqrt{5}}

. Вычислить производную

y'

и указать область её существования.

Задача 13.12

y = \dfrac{ax+b}{cx+d},\ c\neq 0

. Вычислить производную

y'

и указать область её существования.

Задача 13.13

y = \dfrac{x^2 - 5x + 6}{x^2 + x + 7}

. Вычислить производную

y'

и указать область её существования.

Задача 13.14

y = \dfrac{\sqrt{x}}{2 + \sqrt[3]{x^2}}

. Вычислить производную

y'

и указать область её существования.

Задача 13.15

y = 5x\cos x

. Вычислить производную

y'

и указать область её существования.

Задача 13.16

y = (x+1)\tg x

. Вычислить производную

y'

и указать область её существования.

Задача 13.17

y = x^2\ctg x + 2

. Вычислить производную

y'

и указать область её существования.

Задача 13.18

y = \begin{cases} \dfrac{\sin x}{x}, & x\neq 0 \\ 1, & x=0 \end{cases}

. Вычислить производную

y'

и указать область её существования.

Задача 13.19

y = \dfrac{\sqrt{x}}{\tg x}

. Вычислить производную

y'

и указать область её существования.

Задача 13.20

y = \dfrac{\sin x + \cos x}{\cos x - \sin x}

. Вычислить производную

y'

и указать область её существования.

Задача 13.21

y = \arctg x + x + \arcctg x

. Вычислить производную

y'

и указать область её существования.

Задача 13.22

y = x\arcsin x

. Вычислить производную

y'

и указать область её существования.

Задача 13.23

y = \arctg^2 x

. Вычислить производную

y'

и указать область её существования.

Задача 13.24

y = \dfrac{\arccos x}{\arcsin x}

. Вычислить производную

y'

и указать область её существования.

Задача 13.25

y = \ln x^3 - \dfrac{9}{x} - \dfrac{27}{2x^3}

. Вычислить производную

y'

и указать область её существования.

Задача 13.26

y = (\sqrt{2})^x + (\sqrt{5})^{-x}

. Вычислить производную

y'

и указать область её существования.

Задача 13.27

y = (x^2 - 7x + 8)e^x

. Вычислить производную

y'

и указать область её существования.

Задача 13.28

y = 2^x \ln|x|

. Вычислить производную

y'

и указать область её существования.

Задача 13.29

y = e^x \log_2 x

. Вычислить производную

y'

и указать область её существования.

Задача 13.30

y = \log_2 x \cdot \ln x \cdot \log_3 x

. Вычислить производную

y'

и указать область её существования.

Задача 13.31

y = \log_x 2

. Вычислить производную

y'

и указать область её существования.

Задача 13.32

y = \log_x 2^x

. Вычислить производную

y'

и указать область её существования.

Задача 13.33

y = \dfrac{\arcsin x}{e^x}

. Вычислить производную

y'

и указать область её существования.

Задача 13.34

y = e^{ax}(a\sin bx - b\cos bx)

. Вычислить производную

y'

и указать область её существования.

Задача 13.35

y = \sh x \cdot \ch x

. Вычислить производную

y'

и указать область её существования.

Задача 13.36

y = \sh^2 x - \ch^2 x

. Вычислить производную

y'

и указать область её существования.

Задача 13.37

y = \dfrac{\th x}{\ch^2 x}

. Вычислить производную

y'

и указать область её существования.

Задача 13.38

y = \dfrac{\ln x}{\cth x}

. Вычислить производную

y'

и указать область её существования.

Задача 13.39

y = (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4)

,

x_0 = -3

. Вычислить производную

y'

в точке

x_0

.

Задача 13.40

y = (x - a)(x - b)(x - c)

,

x_0 = a

. Вычислить производную

y'

в точке

x_0

.

Задача 13.41

y = \dfrac{x - a}{x - b}

,

a \neq b

,

x_0 = a

. Вычислить производную

y'

в точке

x_0

.

Задача 13.42

y = (1 + ax^b)(1 + bx^a)

,

x_0 = 1

. Вычислить производную

y'

в точке

x_0

.

Задача 13.43

y = x(x - 1)(x - 2)\dots(x - 1985)

,

x_0 = 0

и

x_0 = 1985

. Вычислить производную

y'

в точке

x_0

.

Задача 13.44

y = (2 - x^2)\cos x + 2x\sin x

,

x_0 = 0

. Вычислить производную

y'

в точке

x_0

.

Задача 13.45

y = \dfrac{\sin x - x\cos x}{\cos x + x\sin x}

,

x_0 = \dfrac{\pi}{2}

. Вычислить производную

y'

в точке

x_0

.

Задача 13.46

y = (ax + b)\cos x + (cx + d)\sin x

,

x_0 = 0

. Вычислить производную

y'

в точке

x_0

.

Задача 13.47

y = \arctg x \cdot \arccos x

,

x_0 = 0

. Вычислить производную

y'

в точке

x_0

.

Задача 13.48

y = \log_2 x \cdot \ln 2x

,

x_0 = 1

. Вычислить производную

y'

в точке

x_0

.

Задача 13.49

y = \dfrac{x^2}{\ln x}

,

x_0 = e

. Вычислить производную

y'

в точке

x_0

.

Задача 13.50

y = x^5 e^{-x}

,

x_0 = 5

. Вычислить производную

y'

в точке

x_0

.

Кудрявцев § 13. Производная. Формулы и правила вычисления производных. Дифференциал функции