Кудрявцев § 13. Производная. Формулы и правила вычисления…

Задача 13.1

Найти

f'(x_0)

:
1)

f(x)=x^2,\; x_0=0{,}1

;
2)

f(x)=2\sin 3x,\; x_0=\pi/6

;
3)

f(x)=1+\ln 2x,\; x_0=1

;
4)

f(x)=x+\ctg x,\; x_0=\pi/4

.

Задача 13.2

Найти

f'(x)

и указать область существования производной:
1)

f(x)=x^3+2x

;
2)

f(x)=1/x

;
3)

f(x)=\sqrt{x}

;
4)

f(x)=x\sqrt[3]{x}

;
5)

f(x)=\dfrac{1}{1+x^2}

;
6)

f(x)=2^{x+1}

;
7)

f(x)=\ln x

;
8)

f(x)=\sin 2x

;
9)

f(x)=\ctg x+2

;
10)

f(x)=\arcsin x

;
11)

f(x)=\arccos 3x

;
12)

f(x)=7\arctg(x+1)

.

Задача 13.3

y = x^3 + x^2 + x + 1

. Вычислить производную

y'

и указать область её существования.

Задача 13.4

y = ax^3 + bx^2 + cx + d

, где

a,b,c,d

— постоянные. Вычислить производную

y'

и указать область её существования.

Задача 13.5

y = 7x^{13} + 13x^{-7}

. Вычислить производную

y'

и указать область её существования.

Задача 13.6

y = \dfrac{\ln 3}{x} + e^2

. Вычислить производную

y'

и указать область её существования.

Задача 13.7

y = \dfrac{a}{x^2} + \dfrac{b}{x^3} + \dfrac{c}{x^4}

. Вычислить производную

y'

и указать область её существования.

Задача 13.8

y = \sqrt{x} + \sqrt[3]{x} + \sqrt[4]{x}

. Вычислить производную

y'

и указать область её существования.

Задача 13.9

y = \dfrac{3}{5}x^{5/3} + x^{-2} + \dfrac{2}{x}

. Вычислить производную

y'

и указать область её существования.

Задача 13.10

y = x^3 \sqrt[3]{x^2} + x^7 \sqrt[3]{x}

. Вычислить производную

y'

и указать область её существования.

Задача 13.11

y = x^{\sqrt{5}} - x^{-\sqrt{5}}

. Вычислить производную

y'

и указать область её существования.

Задача 13.12

y = \dfrac{ax+b}{cx+d},\ c\neq 0

. Вычислить производную

y'

и указать область её существования.

Задача 13.13

y = \dfrac{x^2 - 5x + 6}{x^2 + x + 7}

. Вычислить производную

y'

и указать область её существования.

Задача 13.14

y = \dfrac{\sqrt{x}}{2 + \sqrt[3]{x^2}}

. Вычислить производную

y'

и указать область её существования.

Задача 13.15

y = 5x\cos x

. Вычислить производную

y'

и указать область её существования.

Задача 13.16

y = (x+1)\tg x

. Вычислить производную

y'

и указать область её существования.

Задача 13.17

y = x^2\ctg x + 2

. Вычислить производную

y'

и указать область её существования.

Задача 13.18

y = \begin{cases} \dfrac{\sin x}{x}, & x\neq 0 \\ 1, & x=0 \end{cases}

. Вычислить производную

y'

и указать область её существования.

Задача 13.19

y = \dfrac{\sqrt{x}}{\tg x}

. Вычислить производную

y'

и указать область её существования.

Задача 13.20

y = \dfrac{\sin x + \cos x}{\cos x - \sin x}

. Вычислить производную

y'

и указать область её существования.

Задача 13.21

y = \arctg x + x + \arcctg x

. Вычислить производную

y'

и указать область её существования.

Задача 13.22

y = x\arcsin x

. Вычислить производную

y'

и указать область её существования.

Задача 13.23

y = \arctg^2 x

. Вычислить производную

y'

и указать область её существования.

Задача 13.24

y = \dfrac{\arccos x}{\arcsin x}

. Вычислить производную

y'

и указать область её существования.

Задача 13.25

y = \ln x^3 - \dfrac{9}{x} - \dfrac{27}{2x^3}

. Вычислить производную

y'

и указать область её существования.

Задача 13.26

y = (\sqrt{2})^x + (\sqrt{5})^{-x}

. Вычислить производную

y'

и указать область её существования.

Задача 13.27

y = (x^2 - 7x + 8)e^x

. Вычислить производную

y'

и указать область её существования.

Задача 13.28

y = 2^x \ln|x|

. Вычислить производную

y'

и указать область её существования.

Задача 13.29

y = e^x \log_2 x

. Вычислить производную

y'

и указать область её существования.

Задача 13.30

y = \log_2 x \cdot \ln x \cdot \log_3 x

. Вычислить производную

y'

и указать область её существования.

Задача 13.31

y = \log_x 2

. Вычислить производную

y'

и указать область её существования.

Задача 13.32

y = \log_x 2^x

. Вычислить производную

y'

и указать область её существования.

Задача 13.33

y = \dfrac{\arcsin x}{e^x}

. Вычислить производную

y'

и указать область её существования.

Задача 13.34

y = e^{ax}(a\sin bx - b\cos bx)

. Вычислить производную

y'

и указать область её существования.

Задача 13.35

y = \sh x \cdot \ch x

. Вычислить производную

y'

и указать область её существования.

Задача 13.36

y = \sh^2 x - \ch^2 x

. Вычислить производную

y'

и указать область её существования.

Задача 13.37

y = \dfrac{\th x}{\ch^2 x}

. Вычислить производную

y'

и указать область её существования.

Задача 13.38

y = \dfrac{\ln x}{\cth x}

. Вычислить производную

y'

и указать область её существования.

Задача 13.39

y = (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4)

,

x_0 = -3

. Вычислить производную

y'

в точке

x_0

.

Задача 13.40

y = (x - a)(x - b)(x - c)

,

x_0 = a

. Вычислить производную

y'

в точке

x_0

.

Задача 13.41

y = \dfrac{x - a}{x - b}

,

a \neq b

,

x_0 = a

. Вычислить производную

y'

в точке

x_0

.

Задача 13.42

y = (1 + ax^b)(1 + bx^a)

,

x_0 = 1

. Вычислить производную

y'

в точке

x_0

.

Задача 13.43

y = x(x - 1)(x - 2)\dots(x - 1985)

,

x_0 = 0

и

x_0 = 1985

. Вычислить производную

y'

в точке

x_0

.

Задача 13.44

y = (2 - x^2)\cos x + 2x\sin x

,

x_0 = 0

. Вычислить производную

y'

в точке

x_0

.

Задача 13.45

y = \dfrac{\sin x - x\cos x}{\cos x + x\sin x}

,

x_0 = \dfrac{\pi}{2}

. Вычислить производную

y'

в точке

x_0

.

Задача 13.46

y = (ax + b)\cos x + (cx + d)\sin x

,

x_0 = 0

. Вычислить производную

y'

в точке

x_0

.

Задача 13.47

y = \arctg x \cdot \arccos x

,

x_0 = 0

. Вычислить производную

y'

в точке

x_0

.

Задача 13.48

y = \log_2 x \cdot \ln 2x

,

x_0 = 1

. Вычислить производную

y'

в точке

x_0

.

Задача 13.49

y = \dfrac{x^2}{\ln x}

,

x_0 = e

. Вычислить производную

y'

в точке

x_0

.

Задача 13.50

y = x^5 e^{-x}

,

x_0 = 5

. Вычислить производную

y'

в точке

x_0

.

Кудрявцев § 13. Производная. Формулы и правила вычисления производных. Дифференциал функции

Задача 13.1

Задача 13.2

Задача 13.3

Задача 13.4

Задача 13.5

Задача 13.6

Задача 13.7

Задача 13.8

Задача 13.9

Задача 13.10

Задача 13.11

Задача 13.12

Задача 13.13

Задача 13.14

Задача 13.15

Задача 13.16

Задача 13.17

Задача 13.18

Задача 13.19

Задача 13.20

Задача 13.21

Задача 13.22

Задача 13.23

Задача 13.24

Задача 13.25

Задача 13.26

Задача 13.27

Задача 13.28

Задача 13.29

Задача 13.30

Задача 13.31

Задача 13.32

Задача 13.33

Задача 13.34

Задача 13.35

Задача 13.36

Задача 13.37

Задача 13.38

Задача 13.39

Задача 13.40

Задача 13.41

Задача 13.42

Задача 13.43

Задача 13.44

Задача 13.45

Задача 13.46

Задача 13.47

Задача 13.48

Задача 13.49

Задача 13.50