Раздел II. Предел и непрерывность функции — § 9

Кудрявцев § 9. Предел функции

Условия, ответы и подробные решения задач параграфа

65 задач

65 из 65 с разбором

Задача 9.1

Определить, при каких положительных δ\delta из неравенства 0<∣x−x0∣<δ0<|x-x_0|<\delta следует неравенство ∣f(x)−a∣<ε|f(x)-a|<\varepsilon:
1) f(x)=x2, x0=2, a=4, ε=0,001f(x)=x^2,\ x_0=2,\ a=4,\ \varepsilon=0{,}001;
2) f(x)=x2−4x+3x2−2x−3, x0=3, a=12, ε=0,01f(x)=\dfrac{x^2-4x+3}{x^2-2x-3},\ x_0=3,\ a=\dfrac12,\ \varepsilon=0{,}01;
3) f(x)=sin⁡x, x0=π2, a=1, ε=0,01f(x)=\sin x,\ x_0=\dfrac{\pi}{2},\ a=1,\ \varepsilon=0{,}01;
4) f(x)=sign⁡x, x0=0, a=1, ε=1,5f(x)=\operatorname{sign} x,\ x_0=0,\ a=1,\ \varepsilon=1{,}5.

Задача 9.2

Определить, при каких положительных δ\delta из ∣x−1∣<δ|x-1|<\delta следует неравенство:
1) ∣lg⁡x∣<2|\lg x|<2;
2) ∣lg⁡x∣<1|\lg x|<1;
3) ∣lg⁡x∣<0,1|\lg x|<0{,}1;
4) ∣lg⁡x∣<0,01|\lg x|<0{,}01.

Задача 9.3

Для каждого ε>0\varepsilon>0 найти δ>0\delta>0, чтобы из 0<∣x−1∣<δ0<|x-1|<\delta следовало ∣3x2−4x+1x−1−2∣<ε\left|\dfrac{3x^2-4x+1}{x-1}-2\right|<\varepsilon.

Задача 9.4

Для каждого ε>0\varepsilon>0 найти δ>0\delta>0, чтобы из 0<∣x−3∣<δ0<|x-3|<\delta следовало

∣x3−3x2x−3−9∣<ε\left|\dfrac{x^3-3x^2}{x-3}-9\right|<\varepsilon.

Задача 9.5

При каких δ\delta из ∣x∣>δ|x|>\delta следует 11+x2<ε\dfrac{1}{1+x^2}<\varepsilon?

Задача 9.6

При каких δ\delta из x<δx<\delta следует arctg⁡x+π2<ε\operatorname{arctg}x+\dfrac{\pi}{2}<\varepsilon?

Задача 9.7

Доказать, что lim⁡x→0f(x)\lim_{x\to0}f(x) не существует:
1) f(x)=arcctg⁡1xf(x)=\operatorname{arcctg}\dfrac{1}{x};
2) f(x)=sign⁡sin⁡1xf(x)=\operatorname{sign}\sin\dfrac{1}{x}.

Задача 9.8

Доказать, что lim⁡x→+∞f(x)\lim_{x\to+\infty}f(x) не существует:
1) f(x)=cos⁡xf(x)=\cos x;
2) f(x)=x−E(x)f(x)=x-E(x).

Задача 9.9

Пусть f(x)f(x) и g(x)g(x) не имеют предела в точке x0x_0. Следует ли отсюда, что f+gf+g и fgfg также не имеют предела?

Задача 9.10

Доказать, что если для любой последовательности {xn}\{x_n\}, сходящейся к x0x_0, последовательность {f(xn)}\{f(x_n)\} сходится, то lim⁡x→x0f(x)\lim_{x\to x_0}f(x) существует.

Задача 9.11

Доказать, что если из любой последовательности {xn}\{x_n\}, сходящейся к x0x_0, можно выделить подпоследовательность {xnk}\{x_{n_k}\}, для которой lim⁡k→∞f(xnk)=a\lim_{k\to\infty} f(x_{n_k}) = a, то lim⁡x→x0f(x)=a\lim_{x\to x_0} f(x) = a.

Задача 9.12

Доказать, что если функция f(x)f(x) в точке x0x_0 имеет конечный предел, то f(x)=O(1)f(x) = O(1) при x→x0x \to x_0.

Задача 9.13

Доказать, что если функция f(x)f(x) удовлетворяет неравенству f(x)≥Cf(x) \ge C, x∈(α;β)x \in (\alpha; \beta), x≠x0∈(α;β)x \ne x_0 \in (\alpha; \beta), где CC — постоянная, и существует lim⁡x→x0f(x)\lim_{x\to x_0} f(x), то lim⁡x→x0f(x)≥C\lim_{x\to x_0} f(x) \ge C.

Задача 9.14

Доказать, что если функция f(x)f(x) в точке x0x_0 имеет конечный положительный предел, равный aa, то существует такой интервал (α;β)(\alpha; \beta), содержащий точку x0x_0, что f(x)>a2f(x) > \dfrac a2 для всех x∈(α;β)x \in (\alpha; \beta), x≠x0x \ne x_0.

Задача 9.15

Доказать, что если на интервале (α;β)(\alpha; \beta), содержащем точку x0x_0, справедливы неравенства g1(x)≤f(x)≤g2(x)g_1(x) \le f(x) \le g_2(x), x≠x0x \ne x_0, и функции g1(x)g_1(x), g2(x)g_2(x) в точке x0x_0 имеют один и тот же конечный предел aa, то lim⁡x→x0f(x)=a\lim_{x\to x_0} f(x) = a.

Задача 9.16

Сформулировать утверждения:
1) lim⁡x→x0−0f(x)=a\lim_{x \to x_0 - 0} f(x) = a;
2) lim⁡x→x0+0f(x)=∞\lim_{x \to x_0 + 0} f(x) = \infty;
3) lim⁡x→−∞f(x)=+∞\lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty;
4) lim⁡x→+∞f(x)=−∞\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty.

Задача 9.17

Используя логические символы, записать утверждения:
1) lim⁡x→0f(x)=0\lim_{x \to 0} f(x) = 0;
2) lim⁡x→∞f(x)=4\lim_{x \to \infty} f(x) = 4;
3) lim⁡x→1+0f(x)=−∞\lim_{x \to 1 + 0} f(x) = -\infty;
4) lim⁡x→−∞f(x)=∞\lim_{x \to -\infty} f(x) = \infty.

Задача 9.18

Используя логические символы, записать отрицания утверждений:
1) lim⁡x→0f(x)≠0\lim_{x \to 0} f(x) \neq 0;
2) lim⁡x→∞f(x)≠4\lim_{x \to \infty} f(x) \neq 4;
3) lim⁡x→1+0f(x)≠−∞\lim_{x \to 1 + 0} f(x) \neq -\infty;
4) lim⁡x→−∞f(x)≠∞\lim_{x \to -\infty} f(x) \neq \infty.

Задача 9.19

Используя логические символы, записать утверждения:
1) функция f(x)f(x) в точке x0x_0 имеет конечный предел;
2) функция f(x)f(x) не имеет конечного предела в точке x0x_0.

Задача 9.20

Найти пределы:
1) lim⁡x→2x2+4x−5x2−1\lim_{x \to 2} \dfrac{x^2 + 4x - 5}{x^2 - 1};
2) lim⁡x→1x2+4x−5x2−1\lim_{x \to 1} \dfrac{x^2 + 4x - 5}{x^2 - 1};
3) lim⁡x→1x2+x−22x2−x−1\lim_{x \to 1} \dfrac{x^2 + x - 2}{2x^2 - x - 1};
4) lim⁡x→−2x3+3x2+2xx2−x−6\lim_{x \to -2} \dfrac{x^3 + 3x^2 + 2x}{x^2 - x - 6};
5) lim⁡x→2x3−8x3−3x−2\lim_{x \to 2} \dfrac{x^3 - 8}{x^3 - 3x - 2};
6) lim⁡x→12x3−2x2+x−1x3−x2+3x−3\lim_{x \to 1} \dfrac{2x^3 - 2x^2 + x - 1}{x^3 - x^2 + 3x - 3};
7) lim⁡x→1x3−3x+2x3−x2−x+1\lim_{x \to 1} \dfrac{x^3 - 3x + 2}{x^3 - x^2 - x + 1};
8) lim⁡x→3x3−5x2+3x+9x3−8x2+21x−18\lim_{x \to 3} \dfrac{x^3 - 5x^2 + 3x + 9}{x^3 - 8x^2 + 21x - 18}.

Задача 9.21

Найти пределы:
1) lim⁡x→0x7+5x6+4x3x7+2x3\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{x^7 + 5x^6 + 4x^3}{x^7 + 2x^3};
2) lim⁡x→72x2−11x−21x2−9x+14\displaystyle \lim_{x \to 7} \dfrac{2x^2 - 11x - 21}{x^2 - 9x + 14};
3) lim⁡x→1x4−x3+x2−3x+2x3−x2−x+1\displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{x^4 - x^3 + x^2 - 3x + 2}{x^3 - x^2 - x + 1};
4) lim⁡x→1x4−2x+1x8−2x+1\displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{x^4 - 2x + 1}{x^8 - 2x + 1};
5) lim⁡x→1x101−101x+100x2−2x+1\displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{x^{101} - 101x + 100}{x^2 - 2x + 1};
6) lim⁡x→−5(x2+2x)2−14(x2+2x)−15x4−29x2+100\displaystyle \lim_{x \to -5} \dfrac{(x^2+2x)^2 - 14(x^2+2x) - 15}{x^4 - 29x^2 + 100};
7) lim⁡x→1(31−x3+1x−1)\displaystyle \lim_{x \to 1} \left( \dfrac{3}{1-x^3} + \dfrac{1}{x-1} \right);
8) lim⁡x→2(22x−x2+1x2−3x+2)\displaystyle \lim_{x \to 2} \left( \dfrac{2}{2x-x^2} + \dfrac{1}{x^2-3x+2} \right);
9) lim⁡x→1(x2−4x+6x2−5x+4+x−43x2−9x+6)\displaystyle \lim_{x \to 1} \left( \dfrac{x^2 - 4x + 6}{x^2 - 5x + 4} + \dfrac{x - 4}{3x^2 - 9x + 6} \right).

Задача 9.22

Найти пределы при x→∞x \to \infty:
1) lim⁡x→∞(x+5)5+(x+6)5+(x+7)5x5+55\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{(x+5)^5 + (x+6)^5 + (x+7)^5}{x^5 + 5^5};
2) lim⁡x→∞(x+1)2(3−7x)2(2x−1)4\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{(x+1)^2(3-7x)^2}{(2x-1)^4};
3) lim⁡x→∞(2x3+7x−1)6(2x6−13x2+x)3\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{(2x^3+7x-1)^6}{(2x^6-13x^2+x)^3};
4) lim⁡x→∞(1+x11+7x13)3(1+x)100\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{(1+x^{11}+7x^{13})^3}{(1+x)^{100}};
5) lim⁡x→∞(x3+3x2x2+1−x)\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left( \dfrac{x^3+3x^2}{x^2+1} - x \right);
6) lim⁡x→∞(x22x+1+x3+4x2−21−2x2)\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left( \dfrac{x^2}{2x+1} + \dfrac{x^3+4x^2-2}{1-2x^2} \right).

Задача 9.23

lim⁡x→∞Pn(x)Qk(x)\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{P_n(x)}{Q_k(x)}, где PnP_n, QkQ_k — многочлены степеней nn и kk соответственно.

Задача 9.24

Найти пределы при x→1x \to 1:
1) lim⁡x→1xn−1xk−1\displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{x^n-1}{x^k-1};
2) lim⁡x→1xn+1−xk+1+xk−nx+n−1(x−1)2\displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{x^{n+1}-x^{k+1}+x^k-nx+n-1}{(x-1)^2};
3) lim⁡x→1(xn−1)(xn−1−1)⋯(xn−k+1−1)(x−1)(x2−1)⋯(xk−1)\displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{(x^n-1)(x^{n-1}-1)\cdots(x^{n-k+1}-1)}{(x-1)(x^2-1)\cdots(x^k-1)};
4) lim⁡x→1(n1−xn−k1−xk)\displaystyle \lim_{x \to 1} \left( \dfrac{n}{1-x^n} - \dfrac{k}{1-x^k} \right).

Задача 9.25

Найти пределы:
1) lim⁡x→6x−2−2x−6\displaystyle \lim_{x \to 6} \dfrac{\sqrt{x-2}-2}{x-6};
2) lim⁡x→0x1+x3−1\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{x}{\sqrt[3]{1+x}-1};
3) lim⁡x→11−x31−x5\displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{1-\sqrt[3]{x}}{1-\sqrt[5]{x}};
4) lim⁡x→02x2+x+1−2−xx2\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{2\sqrt{x^2+x+1}-2-x}{x^2};
5) lim⁡x→56−x−13−4+x\displaystyle \lim_{x \to 5} \dfrac{\sqrt{6-x}-1}{3-\sqrt{4+x}};
6) lim⁡x→27+2x−x2−1+x+x22x−x2\displaystyle \lim_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{7+2x-x^2}-\sqrt{1+x+x^2}}{2x-x^2};
7) lim⁡x→3x2−2x+6−x2+2x−6x2−4x+3\displaystyle \lim_{x \to 3} \dfrac{\sqrt{x^2-2x+6}-\sqrt{x^2+2x-6}}{x^2-4x+3};
8) lim⁡x→0x+83−21+2x−1\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt[3]{x+8}-2}{\sqrt{1+2x}-1};
9) lim⁡x→−89+x3+x+715+2x3+1\displaystyle \lim_{x \to -8} \dfrac{\sqrt[3]{9+x}+x+7}{\sqrt[3]{15+2x}+1};
10) lim⁡x→02x2+10x+15−x2+10x+17x\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt[5]{2x^2+10x+1} - \sqrt[7]{x^2+10x+1}}{x}.

Задача 9.26

Найти пределы:
1) lim⁡x→∞1+14x2x+x23\lim_{x \to \infty} \dfrac{1+14x}{2x+\sqrt[3]{x^2}};
2) lim⁡x→∞5x6−1x12+5x5−1\lim_{x \to \infty} \dfrac{5x^6-1}{\sqrt{x^{12}+5x^5-1}};
3) lim⁡x→∞4x2+x3+x4x2+4\lim_{x \to \infty} \dfrac{\sqrt{4x^2+\sqrt{x^3+x^4}}}{\sqrt{x^2+4}};
4) lim⁡x→∞9x2+1−x2−13x4+15−x4−15\lim_{x \to \infty} \dfrac{\sqrt{9x^2+1}-\sqrt[3]{x^2-1}}{\sqrt[5]{x^4+1}-\sqrt[5]{x^4-1}};
5) lim⁡x→∞x2+6+∣x∣x4+26−∣x∣\lim_{x \to \infty} \dfrac{\sqrt{x^2+6}+|x|}{\sqrt[6]{x^4+2}-|x|};
6) lim⁡x→∞1+4/x3−1+3/x41−1−5/x5\lim_{x \to \infty} \dfrac{\sqrt[3]{1+4/x}-\sqrt[4]{1+3/x}}{1-\sqrt[5]{1-5/x}}.

Задача 9.27

Найти пределы:
1) lim⁡x→∞(x2−1−x2+1)\lim_{x \to \infty} \left(\sqrt{x^2-1}-\sqrt{x^2+1}\right);
2) lim⁡x→∞(x4+2x2−1−x4−2x2−1)\lim_{x \to \infty} \left(\sqrt{x^4+2x^2-1}-\sqrt{x^4-2x^2-1}\right);
3) lim⁡x→∞(4x4+13x2−7−2x2)\lim_{x \to \infty} \left(\sqrt{4x^4+13x^2-7}-2x^2\right);
4) lim⁡x→∞(x3+3x2+4x3−x3−3x2+43)\lim_{x \to \infty} \left(\sqrt[3]{x^3+3x^2+4x}-\sqrt[3]{x^3-3x^2+4}\right);
5) lim⁡x→∞(x2+x2+x2−x2)\lim_{x \to \infty} \left(\sqrt{x^2+\sqrt{x^2+\sqrt{x^2}}}-\sqrt{x^2}\right);
6) lim⁡x→∞(x4+x2x4+1−2x4)\lim_{x \to \infty} \left(\sqrt{x^4+x^2\sqrt{x^4+1}}-\sqrt{2x^4}\right).

Задача 9.28

Найти пределы:
1) lim⁡x→1xn−1xk−1, n,k∈N\lim_{x \to 1} \dfrac{\sqrt[n]{x}-1}{\sqrt[k]{x}-1},\ n,k\in\mathbb N;
2) lim⁡x→0a+xn−a−xnx, n∈N,a>0\lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt[n]{a+x}-\sqrt[n]{a-x}}{x},\ n\in\mathbb N, a>0;
3) lim⁡x→01+axn−1+bxkx, n,k∈N\lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt[n]{1+ax}-\sqrt[k]{1+bx}}{x},\ n,k\in\mathbb N;
4) lim⁡x→0x1+axn⋅1+bxk−1, n,k∈N\lim_{x \to 0} \dfrac{x}{\sqrt[n]{1+ax}\cdot\sqrt[k]{1+bx}-1},\ n,k\in \mathbb N;
5) lim⁡x→0(1+x2+x)n−(1+x2−x)nx, n∈N\lim_{x \to 0} \dfrac{(\sqrt{1+x^2}+x)^n-(\sqrt{1+x^2}-x)^n}{x},\ n\in\mathbb N;
6) lim⁡x→∞((1+x2)(2+x2)⋯(n+x2)n−x2), n∈N\lim_{x \to \infty} \left(\sqrt[n]{(1+x^2)(2+x^2)\cdots(n+x^2)}-x^2\right),\ n\in\mathbb N.

Задача 9.29

Найти пределы:
1) lim⁡x→0sin⁡3xx\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin3x}{x};
2) lim⁡x→0tg⁡4xsin⁡x\lim_{x \to 0} \dfrac{\operatorname{tg}4x}{\sin x};
3) lim⁡x→0xctg⁡5x\lim_{x \to 0} x\operatorname{ctg}5x;
4) lim⁡x→0sin⁡αxsin⁡βx, β≠0\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin\alpha x}{\sin\beta x},\ \beta\ne0;
5) lim⁡x→0sin⁡xsin⁡6x−sin⁡7x\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{\sin6x-\sin7x};
6) lim⁡x→0(2sin⁡2xsin⁡x−1sin⁡2x)\lim_{x \to 0} \left(\dfrac{2}{\sin2x\sin x}-\dfrac{1}{\sin^2x}\right);
7) lim⁡x→0cos⁡3x3−1sin⁡62x\lim_{x \to 0} \dfrac{\cos3x^3-1}{\sin^6 2x};
8) lim⁡x→04sin⁡(π/6+x)sin⁡(π/6+2x)−1sin⁡x\lim_{x \to 0} \dfrac{4\sin(\pi/6+x)\sin(\pi/6+2x)-1}{\sin x};
9) lim⁡x→0tg⁡(1+x)tg⁡(1−x)−tg⁡21tg⁡2x\lim_{x \to 0} \dfrac{\operatorname{tg}(1+x)\operatorname{tg}(1-x)-\operatorname{tg}^2 1}{\operatorname{tg}^2 x}.

Задача 9.30

Найти пределы:
1) lim⁡x→1sin⁡7πxsin⁡2πx\lim_{x \to 1} \dfrac{\sin7\pi x}{\sin2\pi x};
2) lim⁡x→πsin⁡xπ2−x2\lim_{x \to \pi} \dfrac{\sin x}{\pi^2-x^2};
3) lim⁡x→∞xsin⁡πx\lim_{x \to \infty} x\sin\dfrac{\pi}{x};
4) lim⁡x→∞x2(cos⁡1x−cos⁡3x)\lim_{x \to \infty} x^2\left(\cos\dfrac1x-\cos\dfrac3x\right);
5) lim⁡x→π/41−tg⁡2x2cos⁡x−1\lim_{x \to \pi/4} \dfrac{1-\operatorname{tg}^2 x}{\sqrt2\cos x-1};
6) lim⁡x→π/6cos⁡(2π/3−x)3−2cos⁡x\lim_{x \to \pi/6} \dfrac{\cos(2\pi/3-x)}{\sqrt3-2\cos x};
7) lim⁡x→π/2(πcos⁡x−2xtg⁡x)\lim_{x \to \pi/2} \left(\dfrac{\pi}{\cos x}-2x\operatorname{tg}x\right);
8) lim⁡x→π1−cos⁡xcos⁡2xcos⁡3x1+cos⁡x\lim_{x \to \pi} \dfrac{1-\cos x\cos2x\cos3x}{1+\cos x}.

Задача 9.31

Найти пределы:
1) lim⁡x→0tg⁡2x2−1+cos⁡x\lim_{x \to 0} \dfrac{\operatorname{tg}^2 x}{\sqrt{2-\sqrt{1+\cos x}}};
2) lim⁡x→01+tg⁡x−1+sin⁡xx3\lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{1+\operatorname{tg}x}-\sqrt{1+\sin x}}{x^3};
3) lim⁡x→01+2sin⁡3x−1−4sin⁡5xsin⁡6x\lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{1+2\sin 3x}-\sqrt{1-4\sin 5x}}{\sin 6x};
4) lim⁡x→0xtg⁡3x1+sin⁡22x−1+sin⁡2x\lim_{x \to 0} \dfrac{x \operatorname{tg}3x}{\sqrt{1+\sin^2 2x}-\sqrt{1+\sin^2 x}};
5) lim⁡x→0cos⁡4x3−cos⁡5x31−cos⁡3x\lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt[3]{\cos 4x}-\sqrt[3]{\cos 5x}}{1-\cos 3x};
6) lim⁡x→01−cos⁡xcos⁡2xtg⁡x2\lim_{x \to 0} \dfrac{1-\cos x \sqrt{\cos 2x}}{\operatorname{tg} x^2};
7) lim⁡x→π/2sin⁡x4−sin⁡x3cos⁡2x\lim_{x \to \pi/2} \dfrac{\sqrt[4]{\sin x}-\sqrt[3]{\sin x}}{\cos^2 x};
8) lim⁡x→∞(sin⁡x2+1−sin⁡x2−1)\lim_{x \to \infty} \left(\sin\sqrt{x^2+1}-\sin\sqrt{x^2-1}\right).

Задача 9.32

Найти пределы:
1) lim⁡x→0arcsin⁡2xx\lim_{x \to 0} \dfrac{\arcsin 2x}{x};
2) lim⁡x→0tg⁡2x−3arcsin⁡4xsin⁡5x−6arctg⁡7x\lim_{x \to 0} \dfrac{\operatorname{tg}2x-3\arcsin4x}{\sin5x-6\operatorname{arctg}7x};
3) lim⁡x→0π−4arctg⁡11+xx\lim_{x \to 0} \dfrac{\pi-4\operatorname{arctg}\frac1{1+x}}{x};
4) lim⁡x→01+arcsin⁡x3−1+arctg⁡2x31+arctg⁡3x−1−arcsin⁡4x\lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt[3]{1+\arcsin x}-\sqrt[3]{1+\operatorname{arctg}2x}}{\sqrt{1+\operatorname{arctg}3x}-\sqrt{1-\arcsin4x}}.

Задача 9.33

Найти пределы:
1) lim⁡x→∞(x2x+1)x2\lim_{x \to \infty} \left(\dfrac{x}{2x+1}\right)^{x^2};
2) lim⁡x→∞(1x2)x2x+1\lim_{x \to \infty} \left(\dfrac1{x^2}\right)^{\frac{x}{2x+1}};
3) lim⁡x→∞(x2x+1)x\lim_{x \to \infty} \left(\dfrac{x}{2x+1}\right)^x;
4) lim⁡x→∞(xx+1)x\lim_{x \to \infty} \left(\dfrac{x}{x+1}\right)^x.

Задача 9.34

Найти пределы:
1) lim⁡x→10lg⁡x−1x−10\lim_{x \to 10} \dfrac{\lg x-1}{x-10};
2) lim⁡x→0ln⁡(1+3x+x2)+ln⁡(1−3x+x2)x2\lim_{x \to 0} \dfrac{\ln(1+3x+x^2)+\ln(1-3x+x^2)}{x^2};
3) lim⁡x→∞xlog⁡210+x5+x\lim_{x \to \infty} x\log_2\dfrac{10+x}{5+x};
4) lim⁡x→01+x3−1−sin⁡xln⁡(1+x)\lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt[3]{1+x}-1-\sin x}{\ln(1+x)};
5) lim⁡x→0ln⁡tg⁡(π4+4x)x\lim_{x \to 0} \dfrac{\ln \operatorname{tg}\left(\frac\pi4+4x\right)}{x};
6) lim⁡x→0ln⁡cos⁡5xln⁡cos⁡4x\lim_{x \to 0} \dfrac{\ln\cos 5x}{\ln\cos 4x};
7) lim⁡x→1/41−ctg⁡πxln⁡tg⁡πx\lim_{x \to 1/4} \dfrac{1-\operatorname{ctg}\pi x}{\ln \operatorname{tg}\pi x};
8) lim⁡x→∞x2ln⁡cos⁡πx\lim_{x \to \infty} x^2\ln\cos\dfrac{\pi}{x}.

Задача 9.35

Найти пределы:
1) lim⁡x→010x−12x−1\lim_{x \to 0} \dfrac{10^x-1}{2^x-1};
2) lim⁡x→∞x(31/x−1)\lim_{x \to \infty} x\left(3^{1/x}-1\right);
3) lim⁡x→∞x2(41/x−41x+1)\lim_{x \to \infty} x^2\left(4^{1/x}-4^{\frac1{x+1}}\right);
4) lim⁡x→0e7x−e2xtg⁡x\lim_{x \to 0} \dfrac{e^{7x}-e^{2x}}{\operatorname{tg}x};
5) lim⁡x→0esin⁡5x−esin⁡xln⁡(1+2x)\lim_{x \to 0} \dfrac{e^{\sin 5x}-e^{\sin x}}{\ln(1+2x)};
6) lim⁡x→0ex2−11+sin⁡x2−1\lim_{x \to 0} \dfrac{e^{x^2}-1}{\sqrt{1+\sin x^2}-1};
7) lim⁡x→0ex2−cos⁡xsin⁡2x\lim_{x \to 0} \dfrac{e^{x^2}-\cos x}{\sin^2 x};
8) lim⁡x→01+3x3−1+2x51+5x−1+2x4\lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt[3]{1+3x}-\sqrt[5]{1+2x}}{\sqrt{1+5x}-\sqrt[4]{1+2x}}.

Задача 9.36

Найти пределы:

1) lim⁡x→∞(x2+4x2−4)x2\lim_{x\to\infty}\left(\dfrac{x^2+4}{x^2-4}\right)^{x^2};
2) lim⁡x→0(1+x−x)1/x\lim_{x\to0}(\sqrt{1+x}-x)^{1/x};
3) lim⁡x→0(1+3x2)1/sin⁡2x\lim_{x\to0}(1+3x^2)^{1/\sin^2 x};

4) lim⁡x→π/2(1+ctg⁡x)tg⁡x\lim_{x\to\pi/2}(1+\operatorname{ctg}x)^{\operatorname{tg}x};
5) lim⁡x→0(cos⁡x)−1/x2\lim_{x\to0}(\cos x)^{-1/x^2};
6) lim⁡x→π/2(sin⁡x)tg⁡2x\lim_{x\to\pi/2}(\sin x)^{\operatorname{tg}^2 x};

7) lim⁡x→0(cos⁡6x)ctg⁡2x\lim_{x\to0}(\cos 6x)^{\operatorname{ctg}^2 x};
8) lim⁡x→0(ln⁡(e+x))ctg⁡x\lim_{x\to0}(\ln(e+x))^{\operatorname{ctg}x};
9) lim⁡x→0(xex+1xπx+1)1/x2\lim_{x\to0}\left(\dfrac{x e^x + 1}{x \pi^x + 1}\right)^{1/x^2};

10) lim⁡x→0(cos⁡x+arctg⁡2x)1/arctg⁡x2\lim_{x\to0}(\cos x + \operatorname{arctg}^2 x)^{1/\operatorname{arctg} x^2}.

Задача 9.37

Найти пределы:

1) lim⁡x→0sh⁡xx\lim_{x\to0}\dfrac{\operatorname{sh}x}{x};
2) lim⁡x→0ch⁡2x−1cos⁡x−1\lim_{x\to0}\dfrac{\operatorname{ch}2x-1}{\cos x-1};
3) lim⁡x→0ln⁡ch⁡5xx2\lim_{x\to0}\dfrac{\ln \operatorname{ch}5x}{x^2};

4) lim⁡x→0esh⁡3x−esh⁡xtg⁡x\lim_{x\to0}\dfrac{e^{\operatorname{sh}3x}-e^{\operatorname{sh}x}}{\operatorname{tg}x};
5) lim⁡x→∞(x2−ln⁡ch⁡x2)\lim_{x\to\infty}(x^2-\ln \operatorname{ch}x^2);
6) lim⁡x→0(ch⁡2xch⁡x)1/x2\lim_{x\to0}\left(\dfrac{\operatorname{ch} 2x}{\operatorname{ch} x}\right)^{1/x^2};

7) lim⁡x→0(1+xarctg⁡xch⁡x)1/tg⁡2x\lim_{x\to0}\left(\dfrac{1+x \operatorname{arctg} x}{\operatorname{ch} x}\right)^{1/\operatorname{tg}^2 x};
8) lim⁡x→0(1+xln⁡(1+x)1−xarcsin⁡x)1/sin⁡2x\lim_{x\to0}\left(\dfrac{1+x \ln(1+x)}{1-x \arcsin x}\right)^{1/\sin^2 x}.

Задача 9.38

Найти пределы:

1) lim⁡x→aax−xax−a, a>0\lim_{x\to a}\dfrac{a^x-x^a}{x-a},\ a>0;
2) lim⁡x→0(ax−bx)2ax2−bx2, a>0, b>0, a≠b\lim_{x\to0}\dfrac{(a^x-b^x)^2}{a^{x^2}-b^{x^2}},\ a>0,\ b>0,\ a\neq b;

3) lim⁡x→0(ax+bx2)1/x, a>0, b>0\lim_{x\to0}\left(\dfrac{a^x+b^x}{2}\right)^{1/x},\ a>0,\ b>0;
4) lim⁡x→0(ax+1+bx+1a+b)1/x, a>0, b>0\lim_{x\to0}\left(\dfrac{a^{x+1}+b^{x+1}}{a+b}\right)^{1/x},\ a>0,\ b>0.

Задача 9.39

Найти f(−0)f(-0) и f(+0)f(+0):

1) f(x)=x−∣x∣2xf(x)=\dfrac{x-|x|}{2x};
2) f(x)=arccos⁡(x−1)f(x)=\arccos(x-1);
3) f(x)=e−1/x2f(x)=e^{-1/x^2};
4) f(x)=2ctg⁡xf(x)=2^{\operatorname{ctg}x}.

Задача 9.40

Найти f(x0−0)f(x_0-0) и f(x0+0)f(x_0+0):

1) f(x)=2(1−x2)+∣1−x2∣3(1−x2)−∣1−x2∣, x0=1f(x)=\dfrac{2(1-x^2)+|1-x^2|}{3(1-x^2)-|1-x^2|},\ x_0=1;
2) f(x)=sign⁡cos⁡x, x0=π2f(x)=\operatorname{sign}\cos x,\ x_0=\dfrac\pi2;

3) f(x)=arctg⁡tg⁡x, x0=π2f(x)=\operatorname{arctg}\operatorname{tg}x,\ x_0=\dfrac\pi2;
4) f(x)=1x+31/(3−x), x0=3f(x)=\dfrac1{x+3^{1/(3-x)}},\ x_0=3.

Задача 9.41

Найти f(x0−0)f(x_0-0) и f(x0+0)f(x_0+0):

1) f(x)=1x−[x], x0=−1f(x)=\dfrac1{x-[x]},\ x_0=-1;
2) f(x)=x+[x2], x0=10f(x)=x+[x^2],\ x_0=10;
3) f(x)=lim⁡n→∞xn1+xn,  x0=1f(x)=\lim_{n\to\infty}\dfrac{x^n}{1+x^n},\ \ x_0=1;
4) f(x)=lim⁡n→∞2xn−3xn−1, x0=1f(x)=\lim_{n\to\infty}\dfrac{2x^n-3}{x^n-1},\ x_0=1.

Задача 9.42

Найти lim⁡x→−∞f(x)\lim_{x\to-\infty}f(x) и lim⁡x→+∞f(x)\lim_{x\to+\infty}f(x):

1) f(x)=arctg⁡xf(x)=\operatorname{arctg}x;
2) f(x)=arcctg⁡xf(x)=\operatorname{arcctg}x;
3) f(x)=exf(x)=e^x;
4) f(x)=arcsin⁡1+x1−xf(x)=\arcsin\dfrac{1+x}{1-x};

5) f(x)=(1+x1+2x)xf(x)=\left(\dfrac{1+x}{1+2x}\right)^x;
6) f(x)=(1+1x)xf(x)=\left(1+\dfrac1x\right)^x;
7) f(x)=1+7x+x2−1−x+x2f(x)=\sqrt{1+7x+x^2}-\sqrt{1-x+x^2};

8) f(x)=ln⁡(1+4x)xf(x)=\dfrac{\ln(1+4^x)}{x}.

Задача 9.43

Найти пределы:

1) lim⁡x→−∞(x2+8x+3−x2+4x+3)\lim_{x\to-\infty}\left(\sqrt{x^2+8x+3}-\sqrt{x^2+4x+3}\right);
2) lim⁡x→−∞(x+x3+2x2x+1)\lim_{x \to -\infty} \left( x + \sqrt{\dfrac{x^3 + 2x^2}{x + 1}} \right);

3) lim⁡x→∞(2x−4x2−7x+4)\lim_{x\to\infty}\left(2x-\sqrt{4x^2-7x+4}\right);

4) lim⁡x→−∞arcsin⁡(x2+x+x)\lim_{x\to-\infty}\arcsin\left(\sqrt{x^2+x}+x\right);
5) lim⁡x→+01−cos⁡xx−xcos⁡x\lim_{x\to+0}\dfrac{1-\sqrt{\cos x}}{x-x\cos\sqrt{x}};

6) lim⁡x→+0(1+sin⁡x−cos⁡x1+sin⁡4x−cos⁡4x)1/x\lim_{x\to+0}\left(\dfrac{1+\sin x-\cos x}{1+\sin4x-\cos4x}\right)^{1/x};

7) lim⁡x→∞ln⁡(2+x)ln⁡(6+x6)\lim_{x \to \infty} \dfrac{\ln(2 + \sqrt{x})}{\ln(6 + \sqrt[6]{x})};
8) lim⁡x→∞ln⁡(4+5e6x)ln⁡(1+2e3x)\lim_{x\to\infty}\dfrac{\ln(4+5e^{6x})}{\ln(1+2e^{3x})};
9) lim⁡x→+0arccos⁡(1−x)x\lim_{x\to+0}\dfrac{\arccos(1-x)}{\sqrt{x}};

10) lim⁡x→−1+0π−arccos⁡xx+1\lim_{x \to -1+0} \dfrac{\sqrt{\pi} - \sqrt{\arccos x}}{\sqrt{x+1}}.

Задача 9.44

Выяснить, является ли функция бесконечно малой:

1) f(x)=x2−2x+1x3−x, x→1f(x)=\dfrac{x^2-2x+1}{x^3-x},\ x\to1;
2) f(x)=x2+1−xf(x)=\sqrt{x^2+1}-x;
а) x→+∞x\to+\infty;
б) x→−∞x\to-\infty;

3) f(x)=1−cos⁡x1−cos⁡x, x→+0f(x)=\dfrac{1-\sqrt{\cos x}}{1-\cos\sqrt{x}},\ x\to+0;
4) f(x)=11+2xf(x)=\dfrac1{1+2x};
а) x→+∞x\to+\infty;
б) x→−∞x\to-\infty;

5) f(x)=sin⁡ln⁡(x2+1)−sin⁡ln⁡(x2−1), x→∞f(x)=\sin\ln(x^2+1)-\sin\ln(x^2-1),\ x\to\infty;
6) f(x)=ln⁡(x2−x+1)ln⁡(x4+x+1), x→∞f(x)=\dfrac{\ln(x^2-x+1)}{\ln(x^4+x+1)},\ x\to\infty.

Задача 9.45

Выяснить, является ли функция бесконечно большой:

1) f(x)=1x3−4x2+4x−1x2−3x+2, x→2f(x)=\dfrac1{x^3-4x^2+4x}-\dfrac1{x^2-3x+2},\ x\to2;
2) f(x)=x(x2+1−x)f(x)=x(\sqrt{x^2+1}-x);
а) x→+∞x\to+\infty;
б) x→−∞x\to-\infty;

3) f(x)=cos⁡x(1−sin⁡x)23, x→π2f(x)=\dfrac{\cos x}{\sqrt[3]{(1-\sin x)^2}},\ x\to\dfrac\pi2;
4) f(x)=ch⁡x−sh⁡xf(x)=\operatorname{ch}x-\operatorname{sh}x;
а) x→+∞x\to+\infty;
б) x→−∞x\to-\infty;

5) f(x)=(x+12x−1)xf(x)=\left(\dfrac{x+1}{2x-1}\right)^x;
а) x→+∞x\to+\infty;
б) x→−∞x\to-\infty;
6) f(x)=(1−x)1/x2f(x)=(1-x)^{1/x^2};
а) x→+0x\to+0;

б) x→−0x\to-0.

Задача 9.46

Найти α\alpha и β\beta, при которых f(x)f(x) бесконечно малая:

1) f(x)=x2(x−1)(x+1)2−αx−β, x→∞f(x)=\dfrac{x^2(x-1)}{(x+1)^2}-\alpha x-\beta,\ x\to\infty;
2) f(x)=4x2+x+1−αx−βf(x)=\sqrt{4x^2+x+1}-\alpha x-\beta;
а) x→+∞x\to+\infty;
б) x→−∞x\to-\infty;

3) f(x)=x3−x23−αx−β, x→∞f(x)=\sqrt[3]{x^3-x^2}-\alpha x-\beta,\ x\to\infty;
4) f(x)=xexex−1−αx−βf(x)=\dfrac{xe^x}{e^x-1}-\alpha x-\beta;
а) x→+∞x\to+\infty;

б) x→−∞x\to-\infty;

5) f(x)=(x+4)e1/x−αx−βf(x)=(x+4)e^{1/x}-\alpha x-\beta;
а) x→∞x\to\infty;
б) x→−0x\to-0;
6) f(x)=ln⁡(1+e3x)−αx−βf(x)=\ln(1+e^{3x})-\alpha x-\beta;
а) x→+∞x\to+\infty;
б) x→−∞x\to-\infty;

7) f(x)=xarctg⁡x−αx−βf(x)=x\operatorname{arctg}x-\alpha x-\beta;
а) x→+∞x\to+\infty;
б) x→−∞x\to-\infty.

Задача 9.47

Найти α\alpha и β\beta, при которых f(x)f(x) является бесконечно малой при x→+0x\to+0:

1) f(x)=xαsin⁡1xβf(x)=x^\alpha\sin\dfrac1{x^\beta};
2) f(x)=ln⁡(1+xα)xβf(x)=\dfrac{\ln(1+x^\alpha)}{x^\beta};
3) f(x)=xαarctg⁡1xβf(x)=x^\alpha\operatorname{arctg}\dfrac1{x^\beta};
4) f(x)=(1−xα)βf(x)=(1-x^\alpha)^\beta.

Задача 9.48

Показать, что f(x)f(x) бесконечно малая при x→0x\to0, и найти g(x)=Axng(x)=Ax^n, такую что f(x)∼g(x)f(x)\sim g(x):

1) f(x)=3sin⁡2x2−5x5f(x)=3\sin^2 x^2-5x^5;
2) f(x)=4−x4+x2−2f(x)=\sqrt{4-x^4}+x^2-2;
3) f(x)=1−x4−cos⁡x2f(x)=1-x^4-\cos x^2;

4) f(x)=2sin⁡x−tg⁡2xf(x)=2\sin x-\operatorname{tg}2x;
5) f(x)=sin⁡(x2+9−3)f(x)=\sin(\sqrt{x^2+9}-3);
6) f(x)=2x−1f(x)=2^x-1.

Задача 9.49

Показать, что f(x)f(x) бесконечно большая, и найти g(x)=Axng(x)=Ax^n, такую что f(x)∼g(x)f(x)\sim g(x):

1) f(x)=x52x2+x+1, x0=∞f(x)=\dfrac{x^5}{2x^2+x+1},\ x_0=\infty;

2) f(x)=x4+x+1, x0=∞f(x)=\sqrt{x^4+x+1},\ x_0=\infty;

3) f(x)=1x+2−x+1, x0=+∞f(x)=\dfrac1{\sqrt{x+2}-\sqrt{x+1}},\ x_0=+\infty;

4) f(x)=xx+2−2x+1+x, x0=+∞f(x)=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+2}-2\sqrt{x+1}+\sqrt{x}},\ x_0=+\infty;
5) f(x)=(1+2x−1)ctg⁡2x3, x0=0f(x)=(\sqrt{1+2x}-1)\operatorname{ctg}^2 x^3,\ x_0=0;
6) f(x)=1−cos⁡xcos⁡2xx5, x0=0f(x)=\dfrac{1-\cos x\sqrt{\cos2x}}{x^5},\ x_0=0.

Задача 9.50

Проверить утверждения:

1) x2=o(x)x^2=o(x) при
а) x→0x\to0;
б) x→∞x\to\infty;
2) x=o(x2)x=o(x^2) при
а) x→0x\to0;
б) x→∞x\to\infty;

3) x2+x−x=o(1)\sqrt{x^2+x}-x=o(1) при
а) x→+∞x\to+\infty;
б) x→−∞x\to-\infty;

4) ln⁡(1+ex)=o(1)\ln(1+e^x)=o(1) при
а) x→+∞x\to+\infty;
б) x→−∞x\to-\infty.

Задачи 1–50 из 65