Раздел III. Производная и дифференциал — § 13. Производная. Формулы и правила вычисления производных. Дифференциал функции

Кудрявцев — задача 13.98

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Вычислить производную функции

y = \cos(2 \arccos x)

Ответ:

y' = 4x, \quad x \in (-1; 1)

Решение

Используем тригонометрическое тождество:

\cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha - 1

. При

\alpha = \arccos x

имеем

\cos \alpha = x

. Тогда

y = 2\cos^2(\arccos x) - 1 = 2x^2 - 1.

Дифференцируем:

y' = 4x, \quad x \in (-1; 1)