Раздел III. Производная и дифференциал — § 14
Кудрявцев § 14. Геометрический и физический смысл производной
Условия, ответы и подробные решения задач параграфа
45 задач
45 из 45 с разбором
Найти углы, под которыми график функции пересекает ось абсцисс:
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) ;
7) ;
8) ;
9) ;
10) .
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) ;
7) ;
8) ;
9) ;
10) .
Найти точки, в которых касательные к графику функции параллельны оси абсцисс:
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) ;
7) ;
8) ;
9) .
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) ;
7) ;
8) ;
9) .
Написать уравнение касательной к графику функции в указанной точке:
1) , ;
2) , ;
3) , ;
4) , ;
5) , ;
6) , ;
7) , ;
8) , , ;
9) , , , ;
10) , , .
1) , ;
2) , ;
3) , ;
4) , ;
5) , ;
6) , ;
7) , ;
8) , , ;
9) , , , ;
10) , , .
Написать уравнение касательной к эллипсу в точке .
Найти точки пересечения с осью абсцисс касательных к эллипсам в точках с абсциссой .
Найти угол между касательными к кривой , проходящими через точку .
Написать уравнение нормали к графику функции в указанной точке:
1) , ;
2) , ;
3) , ;
4) , ;
5) , , ;
6) , , , .
1) , ;
2) , ;
3) , ;
4) , ;
5) , , ;
6) , , , .
Написать уравнение нормали к эллипсу в точке .
Написать уравнение нормали к гиперболе в точке .
Написать уравнение касательной и нормали к кривой в точке :
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) ;
7) ;
8) ;
9) ;
10) ;
11) .
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) ;
7) ;
8) ;
9) ;
10) ;
11) .
Определить, в каких точках и под каким углом пересекаются графики функций:
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) ;
7) ;
8) ;
9) .
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) ;
7) ;
8) ;
9) .
Определить, в каких точках и под каким углом пересекаются кривые:
1) и ;
2) и ;
3) и ;
4) и ;
5) и ;
6) и ;
7) и ;
8) и .
1) и ;
2) и ;
3) и ;
4) и ;
5) и ;
6) и ;
7) и ;
8) и .
Доказать, что семейства парабол и (, ) образуют ортогональную сетку.
Доказать, что семейства гипербол и образуют ортогональную сетку.
Доказать, что семейства кривыхи(, , ) образуют ортогональную сетку.
Определить угол между левой и правой касательными в точке графика функции :
1) , ;
2) , ;
3) , ;
4) , ;
5) , ;
6) , ;
7) , ;
8) ;
9) , ;
10) , .
1) , ;
2) , ;
3) , ;
4) , ;
5) , ;
6) , ;
7) , ;
8) ;
9) , ;
10) , .
Вычислить в точке параболы длины отрезков: касательной, нормали, подкасательной, поднормали.
Найти длину подкасательной графика функции () в каждой его точке.
Найти длины подкасательной и поднормали графика функции (, ) в каждой его точке.
Найти длины подкасательной и поднормали:
1. параболы ;
2. гиперболы .
1. параболы ;
2. гиперболы .
Доказать, что подкасательные эллипса и окружности в точках с равными абсциссами равны.
Доказать, что в точках с равными абсциссами поднормали графиков функций и ( — дифференцируемая функция) равны.
Найти длины подкасательной и поднормали для кривой:
1. ;
2. .
1. ;
2. .
Найти длины отрезков касательной, нормали, подкасательной и поднормали у циклоидыв каждой её точке, не лежащей на оси абсцисс ().
Найти длины отрезков касательной и нормали у трактрисы
Доказать, что у кривойсумма длин подкасательной и поднормали постоянна и равна .
Доказать, что если — уравнение кривой в полярной системе координат и — угол, образованный касательной и полярным радиусом точки касания, то
Найти угол между касательной и полярным радиусом точки касания для следующих кривых:
1. спирали Архимеда ;
2. гиперболической спирали ;
3. логарифмической спирали ;
4. кардиоиды ;
5. дуги лемнискаты Бернулли , .
1. спирали Архимеда ;
2. гиперболической спирали ;
3. логарифмической спирали ;
4. кардиоиды ;
5. дуги лемнискаты Бернулли , .
Под каким углом пересекаются кривые и в точке ?
Доказать, что угол между касательной к спирали Архимеда и полярным радиусом точки касания при стремится к .
Найти расстояние от полюса до произвольной касательной кривой .
Записать в декартовых и в полярных координатах уравнение нормали к кардиоиде в точке с полярным углом .
Поезд Москва–Тбилиси проходит путь в 2400 км за 44 ч 14 мин. Определить среднюю скорость поезда.
Определить среднюю скорость изменения функции на отрезке .
Тело массой кг движется прямолинейно по закону (путь в метрах, время в секундах). Найти кинетическую энергию тела через 5 с после начала движения.
Точка движется по параболе так, что её абсцисса изменяется по закону ( в метрах, в секундах). Какова скорость изменения ординаты точки через 9 с после начала движения?
Радиус шара возрастает равномерно со скоростью 5 см/с. Какова скорость изменения объёма шара в момент, когда его радиус становится равным 50 см?
Колесо вращается так, что угол поворота пропорционален квадрату времени. Первый оборот был сделан за 8 с. Найти угловую скорость через 64 с после начала движения.
По оси абсцисс движутся две точки, имеющие законы движения и . С какой скоростью удаляются они друг от друга в момент встречи ( в метрах, в секундах)?
Паром подтягивается к берегу канатом, наматываемым на ворот со скоростью 3 м/мин. Определить скорость движения парома в момент, когда он находится в 25 м от берега, если ворот расположен на берегу выше поверхности воды на 4 м.
Движение точки: , . Определить координаты вектора скорости и величину скорости.
Точка движется по спирали Архимеда так, что угловая скорость постоянна: с. Найти скорость удлинения полярного радиуса , если м.
Расстояние спутника от центра Земли:Найти радиальную скорость .
Количество тепла (Дж) для нагрева 1 кг воды от 0°С до С. Определить теплоёмкость при С.
Масса радиоактивного вещества . Доказать, что скорость распада пропорциональна количеству вещества, и найти коэффициент пропорциональности.