Кудрявцев § 14. Геометрический и физический смысл производной

Задача 14.1

Найти углы, под которыми график функции

y = f(x)

пересекает ось абсцисс:
1)

y = \sin 3x

;
2)

y = \tg x

;
3)

y = \ln |x|

;
4)

y = 1 - e^x

;
5)

y = \arctg (\alpha x),\ \alpha > 0

;
6)

y = (x - 1)^3 (x - 2)^2 (x - 3)

;
7)

y = \dfrac{(x - 1)(x + 2)}{(x + 1)(x - 2)}

;
8)

x = (t - 1)^2 (t - 2),\; y = (t - 1)^2 (t - 3),\; 2 < t < +\infty

;
9)

x = \dfrac{3at}{t^3 + 1},\; y = \dfrac{3at^2}{t^3 + 1},\; -1 < t < \dfrac12

;
10)

x^2 + y^2 + 2y - 9 =0,\; y > -1

.

Задача 14.2

Найти точки, в которых касательные к графику функции

y = f(x)

параллельны оси абсцисс:
1)

y = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 7

;
2)

y = 3x^4 + 4x^3 - 12x^2 - 1

;
3)

y = 3x^4 - 28x^3 - 6x^2 + 84x + 1

;
4)

y = \cos 2x - 5\cos x

;
5)

y = (3 - x^2)e^x

;
6)

y = \dfrac{(2 - x)^3}{(x - 3)^2}

;
7)

y = |x - 5|(x - 3)^3

;
8)

x = \dfrac{t^3}{1 + t^2},\; y = \dfrac{t^3 - 2t^2}{1 + t^2}

;
9)

x^2 + 2y^2 + 4x - 4y = 0,\; y > 1

.

Задача 14.3

Написать уравнение касательной к графику функции

y = f(x)

в указанной точке:
1)

y = \sqrt{5 - x^2}

,

x_0 = 1

;
2)

y = \arctg 2x

,

x_0 = 0

;
3)

y = \ln \dfrac{x^2 - 2x + 1}{x^2 + x + 1}

,

x_0 = 0

;

4)

y = 4\ctg x - \dfrac{\cos x}{\sin^2 x}

,

x_0 = \dfrac{\pi}{2}

;
5)

y = \sqrt[3]{x - 1}

,

x_0 = 1

;
6)

y = \dfrac{x^3 + 2x^2}{(x-1)^2}

,

x_0 = -2

;

7)

y = |x - 1| \sqrt[3]{x + 2}

,

x_0 = 6

;
8)

x^2 + y^2 - 2x + 6y = 0

,

y > -3

,

x_0 = 0

;
9)

x = t e^t

,

y = t e^{-t}

,

t > -1

,

t = t_0

;
10)

x = a(t - \sin t)

,

y = a(1 - \cos t)

,

t = t_0 \neq 2\pi k

.

Задача 14.4

Написать уравнение касательной к эллипсу

\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1

в точке

(x_0; y_0)

.

Задача 14.5

Найти точки пересечения с осью абсцисс касательных к эллипсам

\dfrac{x^2}{100} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1

в точках с абсциссой

x_0

.

Задача 14.6

Найти угол между касательными к кривой

2x^2 - 4xy + y^2 - 2x + 6y - 3 = 0

, проходящими через точку

(3; 4)

.

Задача 14.7

Написать уравнение нормали к графику функции

y = f(x)

в указанной точке:

1)

y = \cos 2x - 2\sin x

,

x_0 = \pi

;
2)

y = \operatorname{arcctg} \dfrac{1}{x}

,

x_0 = 1

;
3)

y = \dfrac{x^3}{(2 - x)^2}

,

x_0 = 6

;

4)

y = \dfrac{x}{\sqrt[3]{x + 1}}

,

x_0 = -3

;
5)

y^2 = 2px

,

y \ge 0

,

x = x_0

;
6)

x = e^{2t}\cos^2 t

,

y = e^{2t}\sin^2 t

,

|t| < \dfrac{\pi}{4}

,

t_0 = \dfrac{\pi}{6}

.

Задача 14.8

Написать уравнение нормали к эллипсу

3x^2 + 2xy + 2y^2 + 3x - 4y = 0

в точке

(-2; 1)

.

Задача 14.9

Написать уравнение нормали к гиперболе

\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1

в точке

(x_0; y_0)

.

Задача 14.10

Написать уравнение касательной и нормали к кривой в точке

M

:

1)

x^3 + y^2 + 2x - 6 = 0,\ M(-1; 3)

;
2)

4x^3 - 3xy^2 + 6x^2 - 5xy - 8y^2 + 9x + 14 = 0,\ M(-2; 3)

;
3)

y^4 - 4x^4 - 6xy = 0,\ M(1; 2)

;
4)

x^5 + y^5 - 2xy = 0,\ M(1; 1)

;

5)

(4 - x)y^2 = x^3,\ M(x_0; y_0)

;
6)

\left(\dfrac{x}{a}\right)^n + \left(\dfrac{y}{b}\right)^n = 2,\ n \in \mathbb{N},\ M(a; b)

;
7)

x = t^2,\ \ y = t^3,\ M(4; 8)

;
8)

x = t\cos t,\ y = t\sin t,\ M\left(\dfrac{\pi\sqrt{2}}{8}; \dfrac{\pi\sqrt{2}}{8}\right)

;
9)

x = \sqrt{2}\cos^3 t,\ y = \sqrt{2}\sin^3 t,\ M\left(\dfrac12; \dfrac12\right)

;
10)

x = \dfrac{1+t}{t^3},\ y = \dfrac{3}{2t^2} + \dfrac{1}{2t},\ M(2; 2)

;
11)

x = \dfrac{2t - 1}{t^2},\ y = \dfrac{3t^2 - 1}{t^3},\ M(1; 2)

.

Задача 14.11

Определить, в каких точках и под каким углом пересекаются графики функций:

1)

f_1(x) = x - x^3,\ f_2(x) = 5x

;
2)

f_1(x) = \sqrt{2}\sin x,\ f_2(x) = \sqrt{2}\cos x

;

3)

f_1(x) = x^2,\ f_2(x) = x^3

;
4)

f_1(x) = 1/x,\ f_2(x) = \sqrt{x}

;
5)

f_1(x) = x^3,\ f_2(x) = 1/x^2

;

6)

f_1(x) = \ln x,\ f_2(x) = \dfrac{x^2}{2e}

;
7)

f_1(x) = x^2 - 4x + 4,\ f_2(x) = -x^2 + 6x - 4

;

8)

f_1(x) = 4x^2 + 2x - 8,\ f_2(x) = x^3 - x + 10

;
9)

f_1(x) = \varphi(x),\ f_2(x) = \varphi(x)\sin \pi x

.

Задача 14.12

Определить, в каких точках и под каким углом пересекаются кривые:

1)

y = x^2

и

x = y^2

;
2)

y = \dfrac{2}{3}x^5 - \dfrac{1}{9}x^3

и

x = 1

;
3)

y = e^{x/2}

и

x = 2

;
4)

x^2 + y^2 = 5

и

y^2 = 4x

;
5)

y^2 = 2x^3

и

64x - 48y - 11 = 0

;
6)

x^3 + y^3 - xy - 7 = 0

и

y = x + 1

;
7)

x = \dfrac{t^3}{1+t^2},\ y = \dfrac{t^3 - 2t^2}{1+t^2}

и

y + \ln\dfrac{5x}{8} = 0

;
8)

x = \left(1 + \dfrac{1}{t}\right)^t,\ y = \left(1 + \dfrac{1}{t}\right)^{t+1}

и

y = x

.

Задача 14.13

Доказать, что семейства парабол

y^2 = p^2 - 2px

и

y^2 = 2qx + q^2

(

p \neq 0

,

q \neq 0

) образуют ортогональную сетку.

Задача 14.14

Доказать, что семейства гипербол

x^2 - y^2 = a

и

xy = b

образуют ортогональную сетку.

Задача 14.15

Доказать, что семейства кривых

x = \dfrac12\left(a + \dfrac1a\right)\cos t, \quad y = \dfrac12\left(a - \dfrac1a\right)\sin t, \quad 0 \le t < 2\pi,

и

x = \dfrac12\left(t + \dfrac1t\right)\cos\alpha, \quad y = \dfrac12\left(t - \dfrac1t\right)\sin\alpha, \quad 0 < t < +\infty,

(

a > 0

,

\alpha \neq \dfrac{\pi k}{2}

,

k \in \mathbb{Z}

) образуют ортогональную сетку.

Задача 14.16

Определить угол между левой и правой касательными в точке

M

графика функции

y = f(x)

:
1)

y = |x|

,

M(0;0)

;
2)

y = \sqrt[3]{x^2}

,

M(0;0)

;
3)

y = \arccos(\cos x)

,

M(\pi;\pi)

;
4)

y =\sqrt{1 - e^{-3x^2}}

,

M(0;0)

;
5)

y = \sqrt{2x^3 + 9x^2}

,

M(0;0)

;
6)

y = \dfrac{1}{\sqrt{3}} \arcsin \dfrac{2x}{1+x^2}

,

M\!\left(1; \dfrac{\pi}{2\sqrt{3}}\right)

;
7)

x^3 + y^3 = 3x^2

,

M(0;0)

;
8)

y = \begin{cases} \dfrac{x}{1+e^{1/x}}, & x \neq 0, \\ 0, & x = 0, \end{cases}

M(0;0)

;
9)

y =\dfrac{\sqrt{1+|x-2|}}{1+x}

,

M\!\left(2; \dfrac13\right)

;
10)

x = t - \dfrac{t}{1+t^2},\ y = \dfrac{2+t^2}{1+t^2}

,

M(0;2)

.

Задача 14.17

Вычислить в точке

(1;2)

параболы

y^2 = 4x

длины отрезков: касательной, нормали, подкасательной, поднормали.

Задача 14.18

Найти длину подкасательной графика функции

y = a^x

(

a>0,\ a\neq 1

) в каждой его точке.

Задача 14.19

Найти длины подкасательной и поднормали графика функции

y = a x^n

(

n \in \mathbb{N}

,

a \neq 0

) в каждой его точке.

Задача 14.20

Найти длины подкасательной и поднормали:

1. параболы

y^2 = 2px

;
2. гиперболы

x^2 - y^2 = a^2

.

Задача 14.21

Доказать, что подкасательные эллипса

\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1

и окружности

x^2 + y^2 = a^2

в точках с равными абсциссами равны.

Задача 14.22

Доказать, что в точках с равными абсциссами поднормали графиков функций

y = f(x)

и

y = \sqrt{f^2(x) + a^2}

(

f

— дифференцируемая функция) равны.

Задача 14.23

Найти длины подкасательной и поднормали для кривой:

1.

y^{2}=x^{3}

;
2.

xy^{2}=1

.

Задача 14.24

Найти длины отрезков касательной, нормали, подкасательной и поднормали у циклоиды

x = a(t - \sin t), \qquad y = a(1 - \cos t)

в каждой её точке, не лежащей на оси абсцисс (

a > 0

).

Задача 14.25

Найти длины отрезков касательной и нормали у трактрисы

x = a\Bigl(\ln\tg\dfrac{t}{2} + \cos t\Bigr), \quad y = a\sin t, \quad 0 < t < \pi, \quad a > 0.

Задача 14.26

Доказать, что у кривой

x = 2a(\ln\sin t - \sin^2 t), \quad y = a\sin 2t, \quad 0 < t < \pi, \quad a > 0,

сумма длин подкасательной и поднормали постоянна и равна

2a

.

Задача 14.27

Доказать, что если

r = f(\varphi)

— уравнение кривой в полярной системе координат и

\omega

— угол, образованный касательной и полярным радиусом точки касания, то

\tg\omega = \frac{r}{|r'|}.

Задача 14.28

Найти угол между касательной и полярным радиусом точки касания для следующих кривых:

1. спирали Архимеда

r = a\varphi

;
2. гиперболической спирали

r = a/\varphi

;
3. логарифмической спирали

r = ae^{b\varphi}

;
4. кардиоиды

r = a(\cos\varphi + 1)

;
5. дуги лемнискаты Бернулли

r^{2} = a^{2}\cos 2\varphi

,

0 < \varphi < \pi/4

.

Задача 14.29

Под каким углом пересекаются кривые

r = \varphi

и

r = 1/\varphi

в точке

(1; 1)

?

Задача 14.30

Доказать, что угол между касательной к спирали Архимеда

r = a\varphi

и полярным радиусом точки касания при

\varphi \to +\infty

стремится к

\pi/2

.

Задача 14.31

Найти расстояние от полюса до произвольной касательной кривой

r = ae^{b\varphi}

.

Задача 14.32

Записать в декартовых и в полярных координатах уравнение нормали к кардиоиде

r = a(1 + \cos\varphi)

в точке с полярным углом

\varphi = \pi/6

.

Задача 14.33

Поезд Москва–Тбилиси проходит путь в 2400 км за 44 ч 14 мин. Определить среднюю скорость поезда.

Задача 14.34

Определить среднюю скорость изменения функции

y = \sin(1/x)

на отрезке

\left[\dfrac{2}{\pi}; \dfrac{6}{\pi}\right]

.

Задача 14.35

Тело массой

m = 1{,}5

кг движется прямолинейно по закону

S(t) = t^2 + t + 1

(путь в метрах, время в секундах). Найти кинетическую энергию тела через 5 с после начала движения.

Задача 14.36

Точка движется по параболе

y = 8x - x^2

так, что её абсцисса изменяется по закону

x = \sqrt{t}

(

x

в метрах,

t

в секундах). Какова скорость изменения ординаты точки через 9 с после начала движения?

Задача 14.37

Радиус шара возрастает равномерно со скоростью 5 см/с. Какова скорость изменения объёма шара в момент, когда его радиус становится равным 50 см?

Задача 14.38

Колесо вращается так, что угол поворота пропорционален квадрату времени. Первый оборот был сделан за 8 с. Найти угловую скорость через 64 с после начала движения.

Задача 14.39

По оси абсцисс движутся две точки, имеющие законы движения

x_1 = 100 + 5t

и

x_2 = \dfrac{t^2}{2}

. С какой скоростью удаляются они друг от друга в момент встречи (

x

в метрах,

t

в секундах)?

Задача 14.40

Паром подтягивается к берегу канатом, наматываемым на ворот со скоростью 3 м/мин. Определить скорость движения парома в момент, когда он находится в 25 м от берега, если ворот расположен на берегу выше поверхности воды на 4 м.

Задача 14.41

Движение точки:

x = (v_0 \cos\alpha)t

,

y = (v_0 \sin\alpha)t - \dfrac{gt^2}{2}

. Определить координаты вектора скорости и величину скорости.

Задача 14.42

Точка движется по спирали Архимеда

r = a\varphi

так, что угловая скорость постоянна:

\dfrac{d\varphi}{dt} = 6^\circ/

с. Найти скорость удлинения полярного радиуса

r

, если

a = 10

м.

Задача 14.43

Расстояние спутника от центра Земли:

r = a\left(1 - \varepsilon \cos\dfrac{2\pi(t-t_0)}{P} - \dfrac{\varepsilon^2}{2}\Bigl(\cos\dfrac{4\pi(t-t_0)}{P} - 1\Bigr)\right).

Найти радиальную скорость

\dfrac{dr}{dt}

.

Задача 14.44

Количество тепла

Q(t) = t + 2\cdot10^{-5}t^2 + 3\cdot10^{-7}t^3

(Дж) для нагрева 1 кг воды от 0°С до

t^\circ

С. Определить теплоёмкость при

t = 100^\circ

С.

Задача 14.45

Масса радиоактивного вещества

m = m_0 2^{(t-t_0)/T}

. Доказать, что скорость распада пропорциональна количеству вещества, и найти коэффициент пропорциональности.