Раздел III. Производная и дифференциал — § 13. Производная. Формулы и правила вычисления производных. Дифференциал функции

Кудрявцев — задача 13.77

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Вычислить производную функции

y = \log_2^3 (2x + 3)^2

Ответ:

y' = \dfrac{48 \ln^2|2x+3|}{(\ln 2)^3 (2x+3)} = \dfrac{12 \log_2^2\bigl((2x+3)^2\bigr)}{(\ln 2)(2x+3)}

Решение

Функция определена при

(2x+3)^2>0

, то есть

x \neq -\dfrac{3}{2}

.

Перепишем в эквивалентной форме:

y = \bigl(\log_2 (2x+3)^2\bigr)^3 = \left(\dfrac{\ln\bigl((2x+3)^2\bigr)}{\ln 2}\right)^3 = \left(\dfrac{2\ln|2x+3|}{\ln 2}\right)^3 = \dfrac{8}{(\ln 2)^3}\ln^3|2x+3|.

Дифференцируем:

y' = \dfrac{8}{(\ln 2)^3} \cdot 3\ln^2|2x+3| \cdot \dfrac{1}{2x+3} \cdot 2 = \dfrac{48 \ln^2|2x+3|}{(\ln 2)^3 (2x+3)}.

Выразим ответ также через исходный логарифм. Поскольку

\log_2 (2x+3)^2 = \dfrac{2\ln|2x+3|}{\ln 2}

, имеем

\ln^2|2x+3| = \dfrac{(\ln 2)^2}{4} \log_2^2\bigl((2x+3)^2\bigr)

. Подставляем:

y' = \dfrac{48}{(\ln 2)^3 (2x+3)} \cdot \dfrac{(\ln 2)^2}{4} \log_2^2\bigl((2x+3)^2\bigr) = \dfrac{12 \log_2^2\bigl((2x+3)^2\bigr)}{(\ln 2)(2x+3)}.