Раздел III. Производная и дифференциал — § 13. Производная. Формулы и правила вычисления производных. Дифференциал функции

Кудрявцев — задача 13.65

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Вычислить производную функции

y = \dfrac{x^2 + 4}{x \sqrt{4 + \left(\dfrac{x^2 - 4}{2x}\right)^2}}

Ответ:

y' = 0 \text{ при } x \neq 0

Решение

Упростим подкоренное выражение:

4 + \left(\dfrac{x^2-4}{2x}\right)^2 = 4 + \dfrac{(x^2-4)^2}{4x^2} = \dfrac{16x^2 + x^4 - 8x^2 + 16}{4x^2} = \dfrac{x^4 + 8x^2 + 16}{4x^2} = \dfrac{(x^2+4)^2}{4x^2}.

Тогда

\sqrt{4 + \left(\dfrac{x^2-4}{2x}\right)^2} = \dfrac{x^2+4}{2|x|}.

Подставляем в функцию:

y = \dfrac{x^2+4}{x \cdot \dfrac{x^2+4}{2|x|}} = \dfrac{2|x|}{x}.

При

x>0

|x|=x \Rightarrow y = 2

; при

x<0

|x|=-x \Rightarrow y = -2

.
Функция кусочно-постоянна (кроме

x=0

, где не определена). Следовательно, производная равна нулю при всех

x \neq 0