Раздел III. Производная и дифференциал — § 13. Производная. Формулы и правила вычисления производных. Дифференциал функции

Кудрявцев — задача 13.55

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Вычислить производную функции

y = (0{,}4 \cos(8x + 5) - 0{,}6 \sin 0{,}8x)^2

Ответ:

y' = 2(0{,}4 \cos(8x + 5) - 0{,}6 \sin 0{,}8x)(-3{,}2 \sin(8x + 5) - 0{,}48 \cos 0{,}8x)

Решение

Дифференцируем как квадрат функции:

y' = 2\bigl(0{,}4 \cos(8x + 5) - 0{,}6 \sin 0{,}8x\bigr) \cdot \bigl(0{,}4 \cos(8x + 5) - 0{,}6 \sin 0{,}8x\bigr)'.

Ищем производную внутренней скобки:

\begin{aligned}(0{,}4 \cos(8x + 5))' &= 0{,}4 \cdot (-\sin(8x + 5)) \cdot 8 = -3{,}2 \sin(8x + 5),\\(-0{,}6 \sin 0{,}8x)' &= -0{,}6 \cdot \cos(0{,}8x) \cdot 0{,}8 = -0{,}48 \cos(0{,}8x).\end{aligned}

Суммируем:

-3{,}2 \sin(8x + 5) - 0{,}48 \cos(0{,}8x)

.

Подставляем:

y' = 2\bigl(0{,}4 \cos(8x + 5) - 0{,}6 \sin 0{,}8x\bigr)\bigl(-3{,}2 \sin(8x + 5) - 0{,}48 \cos 0{,}8x\bigr).