Раздел III. Производная и дифференциал — § 13. Производная. Формулы и правила вычисления производных. Дифференциал функции

Кудрявцев — задача 13.75

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Вычислить производную функции

y = \dfrac{1 + x^2 \operatorname{arctg} x^2}{\sqrt{1 + x^4}}

Ответ:

y' = \dfrac{2x \operatorname{arctg} x^2}{(1+x^4)^{3/2}}

Решение

Запишем функцию как произведение:

y = (1 + x^2 \operatorname{arctg} x^2)(1 + x^4)^{-1/2}

.
Дифференцируем по правилу производной произведения:

\begin{aligned}y' &= \bigl(2x \operatorname{arctg} x^2 + x^2 \cdot \dfrac{2x}{1+x^4}\bigr)(1+x^4)^{-1/2} \\&\quad + (1 + x^2 \operatorname{arctg} x^2) \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right)(1+x^4)^{-3/2} \cdot 4x^3.\end{aligned}

Упростим:

y' = \dfrac{2x \operatorname{arctg} x^2 + \dfrac{2x^3}{1+x^4}}{\sqrt{1+x^4}} - \dfrac{2x^3(1 + x^2 \operatorname{arctg} x^2)}{(1+x^4)^{3/2}}.

Приводим к общему знаменателю

(1+x^4)^{3/2}

y' = \dfrac{\bigl(2x \operatorname{arctg} x^2 + \dfrac{2x^3}{1+x^4}\bigr)(1+x^4) - 2x^3(1 + x^2 \operatorname{arctg} x^2)}{(1+x^4)^{3/2}}.

Раскроем числитель:

2x(1+x^4)\operatorname{arctg} x^2 + 2x^3 - 2x^3 - 2x^5 \operatorname{arctg} x^2 = 2x\operatorname{arctg} x^2 (1+x^4 - x^4) = 2x \operatorname{arctg} x^2.

Итак,

y' = \dfrac{2x \operatorname{arctg} x^2}{(1+x^4)^{3/2}}.