Раздел III. Производная и дифференциал — § 13. Производная. Формулы и правила вычисления производных. Дифференциал функции

Кудрявцев — задача 13.80

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Вычислить производную функции

y = \cos \dfrac{1}{\log_2 x}

Ответ:

y' = \dfrac{\sin\left(\dfrac{1}{\log_2 x}\right)}{x\ln 2 (\log_2 x)^2}

Решение

Функция определена при

x>0,\; x\neq 1

(так как

\log_2 x \neq 0

).
Дифференцируем:

y' = -\sin\left(\dfrac{1}{\log_2 x}\right) \cdot \left(\dfrac{1}{\log_2 x}\right)'.

Найдём производную

\left(\dfrac{1}{\log_2 x}\right)'

. Пусть

u = \log_2 x = \dfrac{\ln x}{\ln 2}

, тогда

\dfrac{1}{u} = \dfrac{\ln 2}{\ln x}

. Производная:

\left(\dfrac{\ln 2}{\ln x}\right)' = \ln 2 \cdot \left(-\dfrac{1}{(\ln x)^2} \cdot \dfrac{1}{x}\right) = -\dfrac{\ln 2}{x(\ln x)^2}.

Возвращаясь к

\log_2 x

(\ln x)^2 = (\ln 2)^2 (\log_2 x)^2

. Тогда

\left(\dfrac{1}{\log_2 x}\right)' = -\dfrac{\ln 2}{x (\ln 2)^2 (\log_2 x)^2} = -\dfrac{1}{x\ln 2 (\log_2 x)^2}.

Подставляем в производную

y'

y' = -\sin\left(\dfrac{1}{\log_2 x}\right) \cdot \left(-\dfrac{1}{x\ln 2 (\log_2 x)^2}\right) = \dfrac{\sin\left(\dfrac{1}{\log_2 x}\right)}{x\ln 2 (\log_2 x)^2}.