Кудрявцев § 15. Производные и дифференциалы высших порядков

Задача 15.1

Найти производную второго порядка:

1)

y = x^2 + 13x + 11

;
2)

y = 1 + 10x + \dfrac{1}{x^{98}}

;
3)

y = \dfrac{x(1 + 3\sqrt{1 - x^2})}{\sqrt{1 - x^2}}

;
4)

y = \cos^2 x

;
5)

y = \operatorname{sh}^2 x + \operatorname{ch}^2 x

;
6)

y = \ln\bigl(x + \sqrt{x^2 + 1}\bigr)

;
7)

y = \operatorname{arctg}\bigl(x + \sqrt{x^2 + 1}\bigr)

;
8)

y = \operatorname{arcctg}\dfrac{1 - x}{\sqrt{2x - x^2}}

;
9)

y = \arcsin\dfrac{x^2 - 1}{x^2 + 1}

;
10)

y = 2\operatorname{arctg}\dfrac{\sqrt[4]{x^4 + 1}}{x} - \ln\dfrac{\sqrt[4]{1 + x^4} + x}{\sqrt[4]{1 + x^4} - x}

.

Задача 15.2

Найти вторую производную в указанной точке:

1)

y = e^{\sqrt{x}},\; x = 4

;
2)

y = \dfrac{x^5}{(x-1)^4},\; x = 5

;
3)

y = \dfrac{\arcsin x}{\sqrt{1 - x^2}},\; x = 0

;
4)

y = e^{\sin x} \cos(\sin x),\; x = 0

.

Задача 15.3

s(t) = 2t^2 + \dfrac{5}{3}t^3

. Найти ускорение через 5 с.

Задача 15.4

Доказать, что при движении по закону

s(t) = ae^t + be^{-t}

ускорение численно равно пройденному пути.

Задача 15.5

Доказать, что при движении по закону

s(t) = \sqrt{t}

ускорение пропорционально кубу скорости.

Задача 15.6

s_1(t) = t^3 + \dfrac{t^2}{2} + t + \dfrac12,\; s_2(t) = \dfrac{2}{3}t^3 + 3t^2 - 5t

. Найти ускорения, когда скорости равны.

Задача 15.7

m = 0{,}1

кг,

s(t) = t^2 - 4t^4

. Найти величину силы при

t = 3

(СИ).

Задача 15.8

По окружности радиуса

R = 5

м движется точка с постоянной угловой скоростью

\omega = 2

рад/с. Найти величину ускорения.

Задача 15.9

Найти второй дифференциал функции (

x

— независимая переменная,

d^{2}y = y''\,dx^{2}

):

1)

y = (x^{2} + x + 1)e^{-x}

;
2)

y = 2x + \ctg 2x

;
3)

y = x(\cos\ln x + \sin\ln x)

;
4)

y = x^{x}\;(x>0)

.

Задача 15.10

Найти второй дифференциал функции в указанной точке:

1)

y = \dfrac{x^{3}}{3 - x^{2}},\; x = 1

;
2)

y = \dfrac{3x + 2}{x^{2} - 2x + 5},\; x = 0

;
3)

y = x\sqrt[3]{(x-5)^{2}},\; x = -3

;
4)

y = \operatorname{arctg}\dfrac{2 + x^{2}}{2 - x^{2}},\; x = 0

.

Задача 15.11

Определить, удовлетворяет ли функция

y = y(x)

заданному уравнению:

1)

y = A\cos ax + B\sin ax,\quad y'' + a^{2}y = 0

;
2)

y = Ae^{ax} + Be^{-ax},\quad y'' - a^{2}y = 0

;
3)

y = (A\cos 3x + B\sin 3x)e^{-x},\quad y'' + 2y' + 10y = 0

;
4)

y = Ae^{x} + Be^{-x} - \dfrac{1}{x},\quad y'' - y = \dfrac{x^{2} - 2}{x^{3}}

;
5)

y = 1 + \cos e^{x} + \sin e^{x},\quad y'' - y' + e^{2x}y = 0

;
6)

y = \bigl(x + \sqrt{1+x^{2}}\bigr)^{10},\quad (1+x^{2})y'' + xy' - 100y = 0

;
7)

y = e^{10\arcsin x},\quad (1-x^{2})y'' - xy' - 100y = 0

;
8)

y = \cos(10\arccos x),\quad (1-x^{2})y'' - xy' + 100y = 0

.

Задача 15.12

Найти

y''

, считая известными

u', u'', v', v''

(

u, v

— функции от

x

):

1)

y = \dfrac{v + 2u}{u}

;
2)

y = e^{uv}

;
3)

y = \operatorname{arctg}\dfrac{v}{u}

;
4)

y = \ln\sqrt{u^{2} + v^{2}}

.

Задача 15.13

Найти

d^{2}y

, считая известными

du, d^{2}u, dv, d^{2}v

(дифференциал второго порядка от функции

y = f(u,v)

):

1)

y = u(2+v)

;
2)

y = u\ln v

;
3)

y = \sqrt{u^{2} + v^{2}}

;
4)

y = u^{v}\;(u>0)

.

Задача 15.14

Найти

\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}

для функций, заданных параметрически:

1)

x = t^{3},\ y = t^{2}

;
2)

x = \dfrac{t^{2}}{1+t^{3}},\ y = \dfrac{t^{3}}{1+t^{3}}

;
3)

x = \ln\cos t,\ y = \ln\cos 2t

;
4)

x = a\cos t,\ y = b\sin t

;
5)

x = (1+\cos^{2}t)\sin t,\ y = \sin^{2}t\cos t

;
6)

x = t\ch t - \sh t,\ y = t\sh t - \ch t

;
7)

x = \dfrac{e^{t}}{1+t},\ y = (t-1)e^{t}

;
8)

x = \dfrac{1}{\cos t},\ y = \tg t - t

;
9)

x = \sin\log_{2}t,\ y = \tg\log_{2}t

;
10)

x = 2^{\cos^{2}t},\ y = 2^{\sin^{2}t}

.

Задача 15.15

Найти

\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}

в заданной точке:

1)

x = (t^{2}+1)e^{t},\ y = t^{2}e^{2t},\ (1;0)

;
2)

x = \dfrac{2t-t^{2}}{t-1},\ y = \dfrac{t^{2}}{t-1},\ (0;4)

;
3)

x = \ln(1+\sin\varphi),\ y = \ln(1-\cos 2\varphi),\ (\ln\dfrac32;\,\ln\dfrac12)

;
4)

x = \ch t\sin t + \sh t\cos t,\ y = \ch t\cos t - \sh t\sin t,\ (0;1)

.

Задача 15.16

Найти

\dfrac{d^{2}x}{dy^{2}}

для функций, заданных параметрически:

1)

x = -2 + 3t - t^{3},\ y = t + 2t^{2} + t^{3}

;
2)

x = \ln\tg\dfrac{t}{2},\ y = \ln\tg t

;
3)

x = \log_{5}\sin t,\ y = \log_{5}\cos t

;
4)

x = \arcsin\tg t,\ y = \sqrt{\cos 2t}\ (\cos 2t > 0)

.

Задача 15.17

Доказать, что функция удовлетворяет заданному уравнению:

1)

x = t^{3}+t,\ y = \dfrac34t^{4}+\dfrac12t^{2}+1,\ y''(1+3y'^{2}) = 1

;
2)

x = e^{t}\cos t,\ y = e^{t}\sin t,\ (x-y)^{2}y'' = 2(xy'-y)

;
3)

x = \sin t,\ y = Ae^{\sqrt{2}t} + Be^{-\sqrt{2}t},\ (1-x^{2})y'' - xy' = 2y

;
4)

x = 3At^{2} + \ln Bt,\ y = 2At^{3} + t\ (A,B>0),\ (3y-2y')y'' = y'^{2}

.

Задача 15.18

Найти

\dfrac{d^{3}y}{dx^{3}}

для функций, заданных параметрически:

1)

x = a\cos t,\ y = a\sin t

;
2)

x = a\ch t,\ y = a\sh t

;
3)

x = a\cos^{3}t,\ y = a\sin^{3}t

;
4)

x = a(t-\sin t),\ y = a(1-\cos t)

;
5)

x = e^{-t}\cos t,\ y = e^{-t}\sin t

;
6)

x = \cos t - \ln\ctg\dfrac{t}{2},\ y = \sin t

.

Задача 15.19

Найти

\dfrac{d^{n}y}{dx^{n}}

для функций, заданных параметрически:

1)

x = a\cos^{2}t,\ y = b\sin^{2}t

;
2)

x = \cos t,\ y = \cos nt\ (n \in \mathbb{N})

;
3)

x = t^{2} - t + 1,\ y = t^{2} + t + 1

;
4)

x = \dfrac{t}{t+1},\ y = \dfrac{2t^{2}+t}{(t+1)^{2}}

.

Задача 15.20

Пусть для функции

y = f(x)

известны

f'(x), f''(x), f'''(x)

. Найти вторую и третью производные обратной функции

x = f^{-1}(y)

.

Задача 15.21

Найти вторую производную

y''

для функции, заданной неявно:

1)

x^{2}+y^{2}=a^{2}

;
2)

x^{2}-y^{2}=a^{2}

;
3)

\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1

;
4)

y^{2}=2px

;
5)

e^{x-y}=x+y

;
6)

e^{2y}-2\ln x-1=0

;
7)

y-x\tg\ln\sqrt{x^{2}+y^{2}}=0

;
8)

y^{2}=e^{x^{4}-y^{2}}

.

Задача 15.22

Найти

d^{2}y

в точке для неявно заданной функции:

1)

x^{2}+2xy+y^{2}-4x+2y-2=0,\;(1;1)

;
2)

2\ln(y-x)+\sin xy=0,\;(0;1)

;
3)

x^{3}y + \arcsin(y-x) = 1,\;(1;1)

;
4)

3(y-x+1) + \operatorname{arctg}(y/x) = 0,\;(1;0)

.

Задача 15.23

Доказать, что функция из уравнения удовлетворяет дифференциальному уравнению:

1)

y = A\ln y + x + B

, доказать

y y'' = (y')^{2} - (y')^{3}

;

2)

(A+Bx)e^{y/x} = x

, доказать

x^{3}y'' = (xy'-y)^{2}

.

Задача 15.24

Найти

y^{(n)}(x)

:

1)

y = x^{3}+x+e^{3x}

;
2)

y = a_0x^n + a_1x^{n-1} + \dots + a_n

(многочлен степени

n

);
3)

y = \dfrac{1+x}{1-x}

;
4)

y = \dfrac{ax+b}{cx+d}\ (c\neq0)

;
5)

y = \ln(ax+b)\ (a\neq0)

;
6)

y = \sin^2 x

;
7)

y = \sin ax\,\sin bx

;
8)

y = \operatorname{ch} ax\,\operatorname{ch} bx

;
9)

y = \sin^2 x\,\sin 2x

;
10)

y = \sin^4 x + \cos^4 x

;
11)

y = \cos^4 x

;

12)

y = \dfrac{1}{\sqrt{1-2x}}

;
13)

y = \dfrac{x}{x^2-4x-12}

;
14)

y = \dfrac{1+x^2}{1-x^2}

;
15)

y = \dfrac{3-2x^2}{2x^2+3x-2}

.

Задача 15.25

Найти

y^{(n)}(x)

:

1)

y = (x-1)2^{x-1}

;
2)

y = (2x-1)2^{3x} \cdot 3^{2x}

;
3)

y = (3-2x)^2 e^{2-3x}

;
4)

y = x \log_2(1-3x)

;
5)

y = \ln(x-1)^{2x}

;
6)

y = x \ln \dfrac{3+x}{3-x}

;
7)

y = x \ln(x^2 - 3x + 2)

;
8)

y = x \cos x

;
9)

y = 2x \cos^2 \dfrac{x}{3}

;
10)

y = (x^2 + x) \cos^2 x

.

Задача 15.26

Найти

y^{(n)}(x)

:

1)

y = \dfrac{x}{\sqrt{1-5x}}

;
2)

y = \dfrac{x^{2}}{\sqrt{1-2x}}

;
3)

y = e^{ax}\cos(bx+c)

;
4)

y = e^{2x}\sin^{2}x

;

5)

y = \operatorname{ch} ax \sin bx

;
6)

y = x^{n-1}e^{1/x}

;
7)

y = x^{n-1}\ln x

;
8)

y = \operatorname{arctg} x

.

Задача 15.27

Вычислить в заданной точке производную указанного порядка

n

:

1)

y = (2x-7)^{2}(3x+7)^{3}

;
а)

n=5

;
б)

n=6

;
2)

y = \sqrt{x}

,

n=10

,

x=1

;
3)

y = \dfrac{x^{2}}{1-x}

,

n=8

,

x=0

;
4)

y = \dfrac{x+1}{x^{2}+x-2}

,

n=13

,

x=-\dfrac12

;
5)

y = \sqrt{x^{2}+3x^{3}}

,

n=5

,

x=1

;
6)

y = \dfrac{1-x^{2}}{\sqrt[3]{2-3x}}

,

n=6

,

x=-1

;
7)

y = x^{2}\ln x

,

n=100

,

x=1

;
8)

y = (x^{2}-2x)\cos 3x

,

n=101

,

x=1

;
9)

y = x\sin x \cos 2x

,

n=100

,

x=\dfrac{\pi}{2}

;
10)

y = (x - \sin x)^{2}

,

n=16

,

x=\dfrac{\pi}{4}

;
11)

y = \operatorname{arctg}^{2} x

;
а)

n=10

,

x=0

;
б)

n=11

,

x=0

.

Задача 15.28

Вычислить в заданной точке дифференциал указанного порядка

n

:

1)

y = (x+5)^5,\ n=3,\ x=0

;
2)

y = \dfrac{7x+1}{(3x-2)^2},\ n=10,\ x=1

;
3)

y = \left(\sqrt{x^2-1} + \sqrt{x-1}\right)^2,\ n=16,\ x=1

;
4)

y = \sin x\sin 2x\sin 3x,\ n=10,\ x=\dfrac{\pi}{6}

;
5)

y = (2x^2+1)\sh^2 x,\ n=8,\ x=0

;
6)

y = \arcsin x

;
а)

n=19,\ x=0

;
б)

n=20,\ x=0

.

Задача 15.29

Определить, какого порядка производными в точке

x=0

функция обладает, и вычислить в этой точке все существующие производные:

1)

y(x) = \begin{cases} 1-\cos x, & x<0,\\ \ln(1+x)-x, & x\ge0; \end{cases}

2)

y(x) = \begin{cases} 2x\cos x, & x<0,\\ \sin 2x, & x\ge0; \end{cases}

3)

y(x) = \begin{cases} \sh x - x, & x<0,\\ x - \sin x, & x\ge0; \end{cases}

4)

y(x) = \begin{cases} \sh x, & x<0,\\ \sin x \ch x, & x\ge0; \end{cases}

5)

y(x) = \begin{cases} x^{10}, & x\in\mathbb{Q},-x^{10}, & x\notin\mathbb{Q}; \end{cases}

6)

y(x) = \begin{cases} x^{100}\sin(1/x), & x\neq0,\\ 0, & x=0; \end{cases}

7)

y(x) = \begin{cases} e^{-1/x^2}, & x\neq0,\\ 0, & x=0. \end{cases}

Задача 15.30

Пусть

f(x) \in C^{n-1}[0; +\infty)

. Доказать, что существуют числа

a_k

(

1 \leqslant k \leqslant n

) такие, что функция

\varphi(x) =\begin{cases}\displaystyle \sum_{k=1}^{n} a_k f(-kx), & x < 0,\\[2mm]f(x), & x \geqslant 0,\end{cases}

непрерывно дифференцируема на всей оси.

Задача 15.31

Пусть функция

\varphi(x)

дифференцируема и удовлетворяет условию

\varphi'(x) = f(\varphi(x))

, где

f

имеет производные всех порядков. Доказать, что

\varphi(x)

также имеет производные всех порядков.

Задача 15.32

Доказать, что если

f^{(n)}

существует, то

\left( x^{n-1} f\left( \dfrac{1}{x} \right) \right)^{(n)}=\dfrac{(-1)^n}{x^{n+1}} f^{(n)}\left( \dfrac{1}{x} \right).

Задача 15.33

Пусть

P_{n,m}(x) = \dfrac{d^n}{dx^n} (1-x^m)^n

,

m > 0

. Найти

P_{n,m}(1)

.