Раздел III. Производная и дифференциал — § 13. Производная. Формулы и правила вычисления производных. Дифференциал функции

Кудрявцев — задача 13.74

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Вычислить производную функции

y = \sqrt{1 + \operatorname{tg} (x^2 + x^{-2})}

Ответ:

y' = \dfrac{x - x^{-3}}{\cos^2(x^2 + x^{-2}) \sqrt{1 + \operatorname{tg} (x^2 + x^{-2})}}

Решение

Дифференцируем как сложную функцию:

y' = \dfrac{1}{2\sqrt{1 + \operatorname{tg} (x^2 + x^{-2})}} \cdot \left(1 + \operatorname{tg}(x^2 + x^{-2})\right)'.

Производная внутренней части:

\left(\operatorname{tg}(x^2 + x^{-2})\right)' = \dfrac{1}{\cos^2(x^2 + x^{-2})} \cdot (x^2 + x^{-2})' = \dfrac{1}{\cos^2(x^2 + x^{-2})} \cdot (2x - 2x^{-3}) = \dfrac{2(x - x^{-3})}{\cos^2(x^2 + x^{-2})}.

Тогда

y' = \dfrac{1}{2\sqrt{1 + \operatorname{tg} (x^2 + x^{-2})}} \cdot \dfrac{2(x - x^{-3})}{\cos^2(x^2 + x^{-2})} = \dfrac{x - x^{-3}}{\cos^2(x^2 + x^{-2}) \sqrt{1 + \operatorname{tg} (x^2 + x^{-2})}}.