Раздел III. Производная и дифференциал — § 13. Производная. Формулы и правила вычисления производных. Дифференциал функции

Кудрявцев — задача 13.85

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Вычислить производную функции

y = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \operatorname{arctg} \dfrac{x^2-1}{\sqrt{2}x}

Ответ:

y' = \dfrac{x^2+1}{x^4+1}

Решение

Упростим аргумент:

u = \dfrac{x^2-1}{\sqrt{2}x} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\left(x - \dfrac{1}{x}\right)

.
Тогда

y = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \operatorname{arctg} u

.
Производная:

y' = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \cdot \dfrac{1}{1+u^2} \cdot u'.

Найдём

u'

u' = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\left(1 + \dfrac{1}{x^2}\right) = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \cdot \dfrac{x^2+1}{x^2}.

Вычислим

1+u^2

u^2 = \dfrac{(x^2-1)^2}{2x^2}, \quad 1+u^2 = 1 + \dfrac{(x^2-1)^2}{2x^2} = \dfrac{2x^2 + (x^2-1)^2}{2x^2} = \dfrac{x^4+1}{2x^2}.

Таким образом,

y' = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \cdot \dfrac{1}{\dfrac{x^4+1}{2x^2}} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{2}} \cdot \dfrac{x^2+1}{x^2}= \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2x^2}{x^4+1} \cdot \dfrac{x^2+1}{x^2} = \dfrac{x^2+1}{x^4+1}.