Раздел III. Производная и дифференциал — § 13. Производная. Формулы и правила вычисления производных. Дифференциал функции

Кудрявцев — задача 13.69

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 13.69

Вычислить производную функции y=1−cos⁡(8x−3π)tg⁡2x−ctg⁡2xy = \dfrac{1 - \cos(8x - 3\pi)}{\operatorname{tg} 2x - \operatorname{ctg} 2x}.
Ответ:y′=−4cos⁡8x, x≠πm4, m∈Zy' = -4\cos 8x,\ x \neq \dfrac{\pi m}{4},\ m \in \mathbb{Z}

Решение

Определим область допустимых значений. Тангенс определён при cos⁡2x≠0\cos 2x \neq 0, то есть 2x≠π2+πk2x \neq \dfrac{\pi}{2} + \pi k, откуда x≠π4+πk2x \neq \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{\pi k}{2}. Котангенс определён при sin⁡2x≠0\sin 2x \neq 0, то есть 2x≠πk2x \neq \pi k, откуда x≠πk2x \neq \dfrac{\pi k}{2}. Кроме того, знаменатель tg⁡2x−ctg⁡2x\operatorname{tg} 2x - \operatorname{ctg} 2x не должен обращаться в нуль. Объединяя условия, получаем x≠πm4x \neq \dfrac{\pi m}{4}, m∈Zm \in \mathbb{Z}.
Упростим функцию.
Числитель: cos⁡(8x−3π)=cos⁡(8x−π)=−cos⁡8x\cos(8x - 3\pi) = \cos(8x - \pi) = -\cos 8x, значит, 1−cos⁡(8x−3π)=1+cos⁡8x=2cos⁡24x1 - \cos(8x - 3\pi) = 1 + \cos 8x = 2\cos^2 4x.
Знаменатель:tg⁡2x−ctg⁡2x=sin⁡2xcos⁡2x−cos⁡2xsin⁡2x=sin⁡22x−cos⁡22xsin⁡2xcos⁡2x=−cos⁡4x12sin⁡4x=−2ctg⁡4x.\operatorname{tg} 2x - \operatorname{ctg} 2x = \dfrac{\sin 2x}{\cos 2x} - \dfrac{\cos 2x}{\sin 2x}
= \dfrac{\sin^2 2x - \cos^2 2x}{\sin 2x \cos 2x}
= \dfrac{-\cos 4x}{\frac{1}{2}\sin 4x} = -2 \operatorname{ctg} 4x.Тогдаy=2cos⁡24x−2ctg⁡4x=−cos⁡24x⋅tg⁡4x=−cos⁡4xsin⁡4x=−12sin⁡8x.y = \dfrac{2\cos^2 4x}{-2\operatorname{ctg} 4x} = -\cos^2 4x \cdot \operatorname{tg} 4x = -\cos 4x \sin 4x = -\dfrac{1}{2}\sin 8x.
Дифференцируем:y′=−12⋅8cos⁡8x=−4cos⁡8x.y' = -\dfrac{1}{2} \cdot 8 \cos 8x = -4\cos 8x.
Кудрявцев № 13.69 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика