Раздел III. Производная и дифференциал — § 13. Производная. Формулы и правила вычисления производных. Дифференциал функции

Кудрявцев — задача 13.59

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Вычислить производную функции

y = \left( \sqrt{x} + \dfrac{1}{\sqrt{x}} \right)^{12}

Ответ:

y' = 6 \left( \sqrt{x} + \dfrac{1}{\sqrt{x}} \right)^{11} \left( \dfrac{1}{\sqrt{x}} - \dfrac{1}{x\sqrt{x}} \right)

Решение

Запишем в степенном виде:

y = (x^{1/2} + x^{-1/2})^{12}

.
Производная:

y' = 12 (x^{1/2} + x^{-1/2})^{11} \cdot \left( \dfrac{1}{2}x^{-1/2} - \dfrac{1}{2}x^{-3/2} \right).

Вынесем

1/2

за скобку:

y' = 12 \cdot \dfrac{1}{2} (x^{1/2} + x^{-1/2})^{11} \cdot \left( x^{-1/2} - x^{-3/2} \right)= 6 \left( \sqrt{x} + \dfrac{1}{\sqrt{x}} \right)^{11} \left( \dfrac{1}{\sqrt{x}} - \dfrac{1}{x\sqrt{x}} \right).