Раздел III. Производная и дифференциал — § 13. Производная. Формулы и правила вычисления производных. Дифференциал функции

Кудрявцев — задача 13.61

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Вычислить производную функции

y = \sqrt[13]{9 + 7\sqrt[5]{2x}}

Ответ:

y' = \dfrac{14}{65} (2x)^{-4/5} \bigl(9 + 7(2x)^{1/5}\bigr)^{-12/13}

Решение

Перепишем в степенях:

y = (9 + 7(2x)^{1/5})^{1/13}

.
Последовательно дифференцируем:

y' = \dfrac{1}{13}\bigl(9 + 7(2x)^{1/5}\bigr)^{-12/13} \cdot \left( 7 \cdot \dfrac{1}{5}(2x)^{-4/5} \cdot 2 \right).

Упрощаем числовой коэффициент:

\dfrac{1}{13} \cdot 7 \cdot \dfrac{2}{5} = \dfrac{14}{65}

.
Таким образом,

y' = \dfrac{14}{65} (2x)^{-4/5} \bigl(9 + 7(2x)^{1/5}\bigr)^{-12/13}.