Раздел III. Производная и дифференциал — § 13. Производная. Формулы и правила вычисления производных. Дифференциал функции

Кудрявцев — задача 13.53

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Вычислить производную функции

y = \dfrac{1}{99} (1 - x)^{-99} - \dfrac{1}{49} (1 - x)^{-98} + \dfrac{1}{97} (1 - x)^{-97}

Ответ:

y' = \dfrac{x^2}{(1-x)^{100}}

Решение

Дифференцируем почленно. Для каждого слагаемого вида

C(1-x)^n

производная:

\bigl(C(1-x)^n\bigr)' = C n (1-x)^{n-1} \cdot (1-x)' = -C n (1-x)^{n-1}.

Учтём знаки и коэффициенты:

\begin{aligned}\left(\dfrac{1}{99}(1-x)^{-99}\right)' &= \dfrac{1}{99}\cdot(-99)(1-x)^{-100}\cdot(-1) = (1-x)^{-100},\\[2mm]\left(-\dfrac{1}{49}(1-x)^{-98}\right)' &= -\dfrac{1}{49}\cdot(-98)(1-x)^{-99}\cdot(-1) = -2(1-x)^{-99},\\[2mm]\left(\dfrac{1}{97}(1-x)^{-97}\right)' &= \dfrac{1}{97}\cdot(-97)(1-x)^{-98}\cdot(-1) = (1-x)^{-98}.\end{aligned}

Суммируем:

y' = (1-x)^{-100} - 2(1-x)^{-99} + (1-x)^{-98}.

Проверка

Вынесем общий множитель

(1-x)^{-100}

y' = (1-x)^{-100}\Bigl[1 - 2(1-x) + (1-x)^2\Bigr].

Раскроем скобки внутри:

1 - 2 + 2x + 1 - 2x + x^2 = x^2.

Таким образом,

y' = x^2 (1-x)^{-100}.