Раздел III. Производная и дифференциал — § 13. Производная. Формулы и правила вычисления производных. Дифференциал функции

Кудрявцев — задача 13.88

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Вычислить производную функции

y = \dfrac{1}{2} \th x + \dfrac{\sqrt{2}}{8} \ln \dfrac{1+\sqrt{2} \th x}{1-\sqrt{2} \th x}

Ответ:

y' = \dfrac{1}{\ch^2 x (2 - \ch^2 x)}

Решение

Дифференцируем почленно.
Первое слагаемое:

\left(\dfrac{1}{2} \th x\right)' = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{\ch^2 x}.

Второе слагаемое: обозначим

f(x) = \ln \dfrac{1+\sqrt{2} \th x}{1-\sqrt{2} \th x} = \ln(1+\sqrt{2} \th x) - \ln(1-\sqrt{2} \th x)

.
Производная:

f'(x) = \dfrac{\sqrt{2} \cdot \dfrac{1}{\ch^2 x}}{1+\sqrt{2} \th x} - \dfrac{-\sqrt{2} \cdot \dfrac{1}{\ch^2 x}}{1-\sqrt{2} \th x}= \dfrac{\sqrt{2}}{\ch^2 x} \left( \dfrac{1}{1+\sqrt{2} \th x} + \dfrac{1}{1-\sqrt{2} \th x} \right).

Общий знаменатель:

(1+\sqrt{2} \th x)(1-\sqrt{2} \th x) = 1 - 2\th^2 x

.
Сумма в скобках:

\dfrac{1-\sqrt{2}\th x + 1+\sqrt{2}\th x}{1-2\th^2 x} = \dfrac{2}{1-2\th^2 x}.

Следовательно,

f'(x) = \dfrac{\sqrt{2}}{\ch^2 x} \cdot \dfrac{2}{1-2\th^2 x} = \dfrac{2\sqrt{2}}{\ch^2 x (1-2\th^2 x)}.

Упростим знаменатель:

\th^2 x = \dfrac{\sh^2 x}{\ch^2 x}

, тогда

1-2\th^2 x = \dfrac{\ch^2 x - 2\sh^2 x}{\ch^2 x}

.
Подставляем:

\ch^2 x (1-2\th^2 x) = \ch^2 x \cdot \dfrac{\ch^2 x - 2\sh^2 x}{\ch^2 x} = \ch^2 x - 2\sh^2 x.

Поэтому

f'(x) = \dfrac{2\sqrt{2}}{\ch^2 x - 2\sh^2 x}

.
Теперь умножаем на коэффициент

\dfrac{\sqrt{2}}{8}

\left(\dfrac{\sqrt{2}}{8} f(x)\right)' = \dfrac{\sqrt{2}}{8} \cdot \dfrac{2\sqrt{2}}{\ch^2 x - 2\sh^2 x} = \dfrac{4}{8(\ch^2 x - 2\sh^2 x)} = \dfrac{1}{2(\ch^2 x - 2\sh^2 x)}.

Складываем с первым слагаемым:

y' = \dfrac{1}{2\ch^2 x} + \dfrac{1}{2(\ch^2 x - 2\sh^2 x)} = \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{1}{\ch^2 x} + \dfrac{1}{\ch^2 x - 2\sh^2 x} \right).

Приводим к общему знаменателю:

\dfrac{1}{\ch^2 x} + \dfrac{1}{\ch^2 x - 2\sh^2 x} = \dfrac{\ch^2 x - 2\sh^2 x + \ch^2 x}{\ch^2 x(\ch^2 x - 2\sh^2 x)} = \dfrac{2\ch^2 x - 2\sh^2 x}{\ch^2 x(\ch^2 x - 2\sh^2 x)} =

= \dfrac{2(\ch^2 x - \sh^2 x)}{\ch^2 x(\ch^2 x - 2\sh^2 x)}.

Поскольку

\ch^2 x - \sh^2 x = 1

, получаем:

y' = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{\ch^2 x(\ch^2 x - 2\sh^2 x)} = \dfrac{1}{\ch^2 x(\ch^2 x - 2\sh^2 x)}.

Используем тождество

\sh^2 x = \ch^2 x - 1

, чтобы выразить через

\ch x

\ch^2 x - 2\sh^2 x = \ch^2 x - 2(\ch^2 x - 1) = 2 - \ch^2 x.

Таким образом, окончательно

y' = \dfrac{1}{\ch^2 x (2 - \ch^2 x)}.