Раздел III. Производная и дифференциал — § 13. Производная. Формулы и правила вычисления производных. Дифференциал функции

Кудрявцев — задача 13.73

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 13.73

Вычислить производную функции

y = \dfrac{\sin^2 x}{1 + \operatorname{ctg} x} + \dfrac{\cos^2 x}{1 + \operatorname{tg} x}

Ответ:

y' = -\cos 2x

Решение

Преобразуем каждое слагаемое.

\dfrac{\sin^2 x}{1 + \dfrac{\cos x}{\sin x}} = \dfrac{\sin^2 x}{\dfrac{\sin x + \cos x}{\sin x}} = \dfrac{\sin^3 x}{\sin x + \cos x}

\dfrac{\cos^2 x}{1 + \dfrac{\sin x}{\cos x}} = \dfrac{\cos^2 x}{\dfrac{\cos x + \sin x}{\cos x}} = \dfrac{\cos^3 x}{\sin x + \cos x}

.

Суммируем:

y = \dfrac{\sin^3 x + \cos^3 x}{\sin x + \cos x}.

Применяем формулу суммы кубов:

\sin^3 x + \cos^3 x = (\sin x + \cos x)(\sin^2 x - \sin x \cos x + \cos^2 x) =

= (\sin x + \cos x)(1 - \sin x \cos x).

После сокращения (при

\sin x + \cos x \neq 0

y = 1 - \sin x \cos x = 1 - \dfrac{1}{2}\sin 2x.

Дифференцируем:

y' = -\dfrac{1}{2} \cdot 2 \cos 2x = -\cos 2x.

Полученная производная справедлива там, где определена исходная функция, включая точки, где знаменатель обращается в ноль (производная в них доопределяется по непрерывности).