Раздел III. Производная и дифференциал — § 13. Производная. Формулы и правила вычисления производных. Дифференциал функции

Кудрявцев — задача 13.93

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 13.93

Вычислить производную функции y=cos⁡nx⋅cos⁡nxy = \cos^n x \cdot \cos nx.
Ответ:y′=−ncos⁡n−1xsin⁡((n+1)x)y' = -n \cos^{n-1} x \sin\bigl((n+1)x\bigr)

Решение

Дифференцируем произведение двух функций: u=cos⁡nxu = \cos^n x, v=cos⁡nxv = \cos nx.u′=n(cos⁡x)n−1⋅(−sin⁡x)=−nsin⁡xcos⁡n−1x.u' = n (\cos x)^{n-1} \cdot (-\sin x) = -n \sin x \cos^{n-1} x.v′=−sin⁡nx⋅n=−nsin⁡nx.v' = -\sin nx \cdot n = -n \sin nx.y′=u′v+uv′=(−nsin⁡xcos⁡n−1x)cos⁡nx+cos⁡nx(−nsin⁡nx).y' = u'v + uv' = \left(-n \sin x \cos^{n-1} x\right) \cos nx + \cos^n x \left(-n \sin nx\right).Выносим общий множитель (−ncos⁡n−1x)(-n \cos^{n-1} x):y′=−ncos⁡n−1x(sin⁡xcos⁡nx+cos⁡xsin⁡nx).y' = -n \cos^{n-1} x \bigl( \sin x \cos nx + \cos x \sin nx \bigr).В скобках — синус суммы: sin⁡xcos⁡nx+cos⁡xsin⁡nx=sin⁡(x+nx)=sin⁡((n+1)x)\sin x \cos nx + \cos x \sin nx = \sin(x + nx) = \sin((n+1)x).y′=−ncos⁡n−1xsin⁡((n+1)x).y' = -n \cos^{n-1} x \sin((n+1)x).
Кудрявцев № 13.93 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика