Раздел III. Производная и дифференциал — § 13. Производная. Формулы и правила вычисления производных. Дифференциал функции

Кудрявцев — задача 13.84

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Вычислить производную функции

y = \dfrac{2}{\sqrt{31}} \operatorname{arctg} \dfrac{4x-5}{\sqrt{31}}

Ответ:

y' = \dfrac{8}{31+(4x-5)^2}

Решение

Константа

\dfrac{2}{\sqrt{31}}

выносится за знак производной:

y' = \dfrac{2}{\sqrt{31}} \cdot \dfrac{1}{1+\left(\dfrac{4x-5}{\sqrt{31}}\right)^2} \cdot \left(\dfrac{4x-5}{\sqrt{31}}\right)'.

Производная аргумента:

\left(\dfrac{4x-5}{\sqrt{31}}\right)' = \dfrac{4}{\sqrt{31}}

.
Тогда

y' = \dfrac{2}{\sqrt{31}} \cdot \dfrac{1}{1+\dfrac{(4x-5)^2}{31}} \cdot \dfrac{4}{\sqrt{31}}= \dfrac{8}{31} \cdot \dfrac{1}{\dfrac{31+(4x-5)^2}{31}} = \dfrac{8}{31+(4x-5)^2}.