Раздел III. Производная и дифференциал — § 13. Производная. Формулы и правила вычисления производных. Дифференциал функции

Кудрявцев — задача 13.79

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Вычислить производную функции

y = \sin \ln |x|

Ответ:

y' = \dfrac{\cos(\ln |x|)}{x}

Решение

Дифференцируем как сложную функцию: сначала синус, затем логарифм модуля.

y' = \cos(\ln |x|) \cdot (\ln |x|)'.

Производная логарифма модуля:

(\ln |x|)' = \dfrac{1}{x}

для любого

x \neq 0

(при

x>0

—

\ln x

, производная

1/x

; при

x<0

—

\ln(-x)

, производная

\dfrac{1}{-x}\cdot(-1) = 1/x

).
Итак,

y' = \dfrac{\cos(\ln |x|)}{x}.