Раздел III. Производная и дифференциал — § 13. Производная. Формулы и правила вычисления производных. Дифференциал функции

Кудрявцев — задача 13.87

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Вычислить производную функции

y = \operatorname{arctg} \th x

Ответ:

y' = \dfrac{1}{\ch 2x}

Решение

y' = \dfrac{1}{1+\th^2 x} \cdot (\th x)' = \dfrac{1}{1+\th^2 x} \cdot \dfrac{1}{\ch^2 x}.

Упростим выражение, используя тождество:

1+\th^2 x = \dfrac{\ch^2 x + \sh^2 x}{\ch^2 x}

. Вы можете удостовериться в их справедливости, просто расписав определения для гиперболических функций.
Тогда

y' = \dfrac{\ch^2 x}{\ch^2 x + \sh^2 x} \cdot \dfrac{1}{\ch^2 x} = \dfrac{1}{\ch^2 x + \sh^2 x}.

Поскольку

\ch^2 x + \sh^2 x = \ch 2x

, окончательно:

y' = \dfrac{1}{\ch 2x}.